[L03/04] I primi... dividono
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[L03/04] I primi... dividono
Trovare tutti i polinomi $f$ a coefficienti interi per i quali vale la seguente affermazione:
esiste un intero positivo $N$ tale che, per ogni primo $p>N$, se $f(p)>0$ allora $p \mid 2 \cdot (f(p)!)+1$.
esiste un intero positivo $N$ tale che, per ogni primo $p>N$, se $f(p)>0$ allora $p \mid 2 \cdot (f(p)!)+1$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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Re: [L03/04] I primi... dividono
Sia [tex]f(x) = a_n x^n + ... + a_0[/tex]
Caso 1: [tex]a_n < 0[/tex]
Dato che il polinomio va a [tex]-\infty[/tex], deve esistere un [tex]N[/tex] tale che non esistono [tex]p>N[/tex] primi tali che [tex]f(p) > 0[/tex].
Caso 2: [tex]a_n >0[/tex]
Dato che [tex]p|f(p) - a_0[/tex] (non so usare i moduli in LaTex ), la condizione di divisibilitá diventa:
[tex]p|2a_0 ! +1[/tex]
Dato che i primi maggiori di ogni N sono infiniti, che [tex]2a_0 ! +1[/tex] è costante e che tutti i primi maggiori di N lo devono dividere, otteniamo:
[tex]2a_0 ! +1 = 0[/tex]
[tex]a_0 = -1/2[/tex]
Impossibile.
Quindi i polinomi sono tutti e solo quelli con [tex]a_n <0[/tex]
Caso 1: [tex]a_n < 0[/tex]
Dato che il polinomio va a [tex]-\infty[/tex], deve esistere un [tex]N[/tex] tale che non esistono [tex]p>N[/tex] primi tali che [tex]f(p) > 0[/tex].
Caso 2: [tex]a_n >0[/tex]
Dato che [tex]p|f(p) - a_0[/tex] (non so usare i moduli in LaTex ), la condizione di divisibilitá diventa:
[tex]p|2a_0 ! +1[/tex]
Dato che i primi maggiori di ogni N sono infiniti, che [tex]2a_0 ! +1[/tex] è costante e che tutti i primi maggiori di N lo devono dividere, otteniamo:
[tex]2a_0 ! +1 = 0[/tex]
[tex]a_0 = -1/2[/tex]
Impossibile.
Quindi i polinomi sono tutti e solo quelli con [tex]a_n <0[/tex]
Re: [L03/04] I primi... dividono
In generale puoi scrivereSky ha scritto: (non so usare i moduli in LaTex )
Codice: Seleziona tutto
a \equiv b \pmod{p}
$a \equiv b \pmod{p}$
Re: [L03/04] I primi... dividono
Grazie, cosa pensi della soluzione?
EDIT: è sbagliata, non posso sostituire [tex]f(p)[/tex] con [tex]a_0[/tex] per via del fattoriale
EDIT 2: se [tex]a_n> 0[/tex] il polinomio va a infinito o è costante, se è costante allora la dimostrazione sopra va bene, altrimenti avremo che: o per qualche [tex]N[/tex], [tex]f(p) > p[/tex] per tutti i [tex]p>N[/tex], in tal caso [tex]p|2f(p)![/tex] e quindi [tex]p|1[/tex], oppure il polinomio è di primo grado. Da qua si va avanti con calma
EDIT: è sbagliata, non posso sostituire [tex]f(p)[/tex] con [tex]a_0[/tex] per via del fattoriale
EDIT 2: se [tex]a_n> 0[/tex] il polinomio va a infinito o è costante, se è costante allora la dimostrazione sopra va bene, altrimenti avremo che: o per qualche [tex]N[/tex], [tex]f(p) > p[/tex] per tutti i [tex]p>N[/tex], in tal caso [tex]p|2f(p)![/tex] e quindi [tex]p|1[/tex], oppure il polinomio è di primo grado. Da qua si va avanti con calma
Re: [L03/04] I primi... dividono
Ci riprovo: sia [tex]f(x) = a_m x^n + ... a_0[/tex]
Caso 1: [tex]a_n<0[/tex]
Dato che il polinomio va a [tex]-\infty[/tex], deve esistere un [tex]N[/tex] tale che non esistono [tex]p<N[/tex] tali che [tex]f(p)>0[/tex].
Caso 2: [tex]a_n>0[/tex]
Se [tex]n>1[/tex] allora esiste un [tex]M[/tex] tale che [tex]f(x)>x[/tex] per ogni [tex]x>M[/tex], quindi per ogni [tex]p>M[/tex] avremmo che [tex]p|f(p)![/tex], quindi che [tex]p|1[/tex]. Contraddizione.
Se [tex]n=0[/tex] allora la quantità [tex]2f(p)!+1[/tex] è costante. Dato che infiniti primi la dividono, dev'essere [tex]0[/tex], quindi [tex]f(p)!=a_0 != -1/2[/tex]. Contraddizione.
Se [tex]n=1[/tex] allora scriviamo [tex]f(x)=mx+q[/tex] con [tex]m[/tex] intero positivo.
Se [tex]m \neq 1[/tex] allora abbiamo un caso analogo a [tex]n>1[/tex], quindi [tex]m=1[/tex].
Se [tex]q \geq 0[/tex] allora la situazione è ancora analoga a [tex]n>1[/tex].
Quindi dobbiamo trovare [tex]c[/tex] tale che:
[tex]2(p-c)! \equiv -1 \pmod{p}[/tex]
Abbia un numero infinito di soluzioni in [tex]p[/tex] primo.
Per il teorema di Wilson abbiamo:
[tex]2(p-c)! \equiv (p-1)! \pmod{p}[/tex].
Quindi semplificando:
[tex]2 \equiv (-1)(-2)...(-c+2)(-c+1) \equiv (-1)^{c+1}(c-1)! \pmod{p}[/tex].
Quindi:
[tex]p|(-1)^{c+1}(c-1)! - 2[/tex] per tutti i [tex]p>N[/tex] per qualche [tex]N[/tex]. Quindi [tex](-1)^{c+1}(c-1)!=2[/tex] che ha come unica soluzione [tex]c=3[/tex].
Quindi le soluzioni sono:
[tex]f(x) = x-3[/tex] e
[tex]a_n <0[/tex]
Caso 1: [tex]a_n<0[/tex]
Dato che il polinomio va a [tex]-\infty[/tex], deve esistere un [tex]N[/tex] tale che non esistono [tex]p<N[/tex] tali che [tex]f(p)>0[/tex].
Caso 2: [tex]a_n>0[/tex]
Se [tex]n>1[/tex] allora esiste un [tex]M[/tex] tale che [tex]f(x)>x[/tex] per ogni [tex]x>M[/tex], quindi per ogni [tex]p>M[/tex] avremmo che [tex]p|f(p)![/tex], quindi che [tex]p|1[/tex]. Contraddizione.
Se [tex]n=0[/tex] allora la quantità [tex]2f(p)!+1[/tex] è costante. Dato che infiniti primi la dividono, dev'essere [tex]0[/tex], quindi [tex]f(p)!=a_0 != -1/2[/tex]. Contraddizione.
Se [tex]n=1[/tex] allora scriviamo [tex]f(x)=mx+q[/tex] con [tex]m[/tex] intero positivo.
Se [tex]m \neq 1[/tex] allora abbiamo un caso analogo a [tex]n>1[/tex], quindi [tex]m=1[/tex].
Se [tex]q \geq 0[/tex] allora la situazione è ancora analoga a [tex]n>1[/tex].
Quindi dobbiamo trovare [tex]c[/tex] tale che:
[tex]2(p-c)! \equiv -1 \pmod{p}[/tex]
Abbia un numero infinito di soluzioni in [tex]p[/tex] primo.
Per il teorema di Wilson abbiamo:
[tex]2(p-c)! \equiv (p-1)! \pmod{p}[/tex].
Quindi semplificando:
[tex]2 \equiv (-1)(-2)...(-c+2)(-c+1) \equiv (-1)^{c+1}(c-1)! \pmod{p}[/tex].
Quindi:
[tex]p|(-1)^{c+1}(c-1)! - 2[/tex] per tutti i [tex]p>N[/tex] per qualche [tex]N[/tex]. Quindi [tex](-1)^{c+1}(c-1)!=2[/tex] che ha come unica soluzione [tex]c=3[/tex].
Quindi le soluzioni sono:
[tex]f(x) = x-3[/tex] e
[tex]a_n <0[/tex]
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Re: [L03/04] I primi... dividono
Corretta!
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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Re: [L03/04] I primi... dividono
Posso chiederti da dove viene?
Re: [L03/04] I primi... dividono
Non ho capito il caso $n>1$ :/
Re: [L03/04] I primi... dividono
$f (x)>x \Rightarrow f (p)>p \Rightarrow p\mid f (p)!$
Re: [L03/04] I primi... dividono
Chiaro, grazie!