[L04] Salta che ti passa
-
- Messaggi: 920
- Iscritto il: 07/01/2015, 18:18
[L04] Salta che ti passa
Trovare tutti gli interi positivi $n$ tali che la seguente equazione ammette almeno una soluzione $(x, y)$ di interi positivi:
$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$.
$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Cit. Marco (mio vero nome)
-
- Messaggi: 14
- Iscritto il: 21/07/2017, 18:02
Re: [L04] Salta che ti passa
Quanti quadrati! USA il T.D.T
Re: [L04] Salta che ti passa
Non ci sono soluzioni? Se è corretto metto la soluzione intera
-
- Messaggi: 920
- Iscritto il: 07/01/2015, 18:18
Re: [L04] Salta che ti passa
Giusto, vai pure con la soluzione.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Cit. Marco (mio vero nome)
Re: [L04] Salta che ti passa
Osservando modulo due possiamo subito vedere che x e y devono avere necessariamente la stessa parità.
Dividiamo entrambi i membri per (x+1)(y+1)
[tex]\frac{x^2} {(x+1)(y+1)} + \frac{y^2}{(x+1)(y+1) }=n[/tex]
Che possiamo riscrivere come:
[tex]\frac{(x-1)(x+1) + (y-1)(y+1) +2}{(y+1)(x+1)} =n[/tex]
Quindi dividiamo il due casi: x, y pari e x, y dispari.
Inoltre per avere delle soluzioni quella frazione deve essere intera.
1) x, y pari:
Se x ed y sono pari allora il numeratore è sicuramente pari (basta guardare modulo 2), invece il denominatore è dispari. Quindi non ci sono soluzioni
L'unico caso possibile sarebbe con il denominatore dispari =1 ma ciò implicherebbe che x=y=0
2) x, y dispari:
Se x ed y sono dispari allora: sia al numeratore che al denominatore abbiamo due quantità pari solo che: il numeratore è divisibile solo per 2, il denominatore è divisibile almeno per 4 ( difatti è il prodotto di due quantità pari). Quindi la frazione non è intera e non ci sono soluzioni
Dividiamo entrambi i membri per (x+1)(y+1)
[tex]\frac{x^2} {(x+1)(y+1)} + \frac{y^2}{(x+1)(y+1) }=n[/tex]
Che possiamo riscrivere come:
[tex]\frac{(x-1)(x+1) + (y-1)(y+1) +2}{(y+1)(x+1)} =n[/tex]
Quindi dividiamo il due casi: x, y pari e x, y dispari.
Inoltre per avere delle soluzioni quella frazione deve essere intera.
1) x, y pari:
Se x ed y sono pari allora il numeratore è sicuramente pari (basta guardare modulo 2), invece il denominatore è dispari. Quindi non ci sono soluzioni
L'unico caso possibile sarebbe con il denominatore dispari =1 ma ciò implicherebbe che x=y=0
2) x, y dispari:
Se x ed y sono dispari allora: sia al numeratore che al denominatore abbiamo due quantità pari solo che: il numeratore è divisibile solo per 2, il denominatore è divisibile almeno per 4 ( difatti è il prodotto di due quantità pari). Quindi la frazione non è intera e non ci sono soluzioni
-
- Messaggi: 920
- Iscritto il: 07/01/2015, 18:18
Re: [L04] Salta che ti passa
Buono il caso 2) ma non il caso 1): il fatto che il numeratore sia pari e il denominatore dispari non è mica un assurdo (anche con denominatore diverso da 1).
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Cit. Marco (mio vero nome)
Re: [L04] Salta che ti passa
Ahh è vero cosa ho scritto xD
Re: [L04] Salta che ti passa
Risoluzione caso 1: x e y sono pari quindi mettiamo
x =2k, y=2h.
Svolgendo i calcoli otteniamo:
[tex]\frac{(2k+1)(2k-1)+(2h+1)(2h-1)+2} {(2k+1)(2h+1)}[/tex]
Quindi il numeratore deve essere divisibile per entrambi i fattori.
Fattore 2h+1:
Con pochi calcoli otteniamo
[tex]4k^2 \equiv - 1 (mod 2h+1)[/tex]
E per simmetria con il fattore 2k+1:
[tex]4h^2 \equiv - 1 (mod 2k+1)[/tex]
x =2k, y=2h.
Svolgendo i calcoli otteniamo:
[tex]\frac{(2k+1)(2k-1)+(2h+1)(2h-1)+2} {(2k+1)(2h+1)}[/tex]
Quindi il numeratore deve essere divisibile per entrambi i fattori.
Fattore 2h+1:
Con pochi calcoli otteniamo
[tex]4k^2 \equiv - 1 (mod 2h+1)[/tex]
E per simmetria con il fattore 2k+1:
[tex]4h^2 \equiv - 1 (mod 2k+1)[/tex]
Ultima modifica di Dudin il 01/08/2017, 16:05, modificato 1 volta in totale.
-
- Messaggi: 920
- Iscritto il: 07/01/2015, 18:18
Re: [L04] Salta che ti passa
E se $k_1=7, h_1=1$? Ok, una congruenza è vera ma l'altra no, ma quello che dici non è così intuitivo come lo fai sembrare... devi dimostrarlo!Dudin ha scritto: [tex]16k1^2 \equiv - 1 (mod 4h1+1)[/tex]
[tex]16h1^2 \equiv - 1 (mod 4k1+1)[/tex]
... Ma siamo in una situazione peggiore di quella di prima (cioè sia 4h1 che 4k1 devono essere entrambi multipli di 16 altrimenti le congruenze non possono essere vere)
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Cit. Marco (mio vero nome)