[L04] Salta che ti passa

[Gerald Lambeau]

Trovare tutti gli interi positivi $n$ tali che la seguente equazione ammette almeno una soluzione $(x, y)$ di interi positivi:
$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$.

[[ProfMateMatto]]

Quanti quadrati! USA il T.D.T

[Dudin]

Non ci sono soluzioni? Se è corretto metto la soluzione intera

[Gerald Lambeau]

Giusto, vai pure con la soluzione.

[Dudin]

Osservando modulo due possiamo subito vedere che x e y devono avere necessariamente la stessa parità.

Dividiamo entrambi i membri per (x+1)(y+1)
[tex]\frac{x^2} {(x+1)(y+1)} + \frac{y^2}{(x+1)(y+1) }=n[/tex]
Che possiamo riscrivere come:
[tex]\frac{(x-1)(x+1) + (y-1)(y+1) +2}{(y+1)(x+1)} =n[/tex]
Quindi dividiamo il due casi: x, y pari e x, y dispari.
Inoltre per avere delle soluzioni quella frazione deve essere intera.

1) x, y pari:
Se x ed y sono pari allora il numeratore è sicuramente pari (basta guardare modulo 2), invece il denominatore è dispari. Quindi non ci sono soluzioni
L'unico caso possibile sarebbe con il denominatore dispari =1 ma ciò implicherebbe che x=y=0

2) x, y dispari:
Se x ed y sono dispari allora: sia al numeratore che al denominatore abbiamo due quantità pari solo che: il numeratore è divisibile solo per 2, il denominatore è divisibile almeno per 4 ( difatti è il prodotto di due quantità pari). Quindi la frazione non è intera e non ci sono soluzioni

[Gerald Lambeau]

Buono il caso 2) ma non il caso 1): il fatto che il numeratore sia pari e il denominatore dispari non è mica un assurdo (anche con denominatore diverso da 1).

[Dudin]

Ahh è vero cosa ho scritto xD

[Dudin]

Risoluzione caso 1: x e y sono pari quindi mettiamo
x =2k, y=2h.
Svolgendo i calcoli otteniamo:
[tex]\frac{(2k+1)(2k-1)+(2h+1)(2h-1)+2} {(2k+1)(2h+1)}[/tex]
Quindi il numeratore deve essere divisibile per entrambi i fattori.
Fattore 2h+1:
Con pochi calcoli otteniamo
[tex]4k^2 \equiv - 1 (mod 2h+1)[/tex]
E per simmetria con il fattore 2k+1:
[tex]4h^2 \equiv - 1 (mod 2k+1)[/tex]

[Gerald Lambeau]

[tex]16k1^2 \equiv - 1 (mod 4h1+1)[/tex]
[tex]16h1^2 \equiv - 1 (mod 4k1+1)[/tex]
... Ma siamo in una situazione peggiore di quella di prima (cioè sia 4h1 che 4k1 devono essere entrambi multipli di 16 altrimenti le congruenze non possono essere vere)

E se $k_1=7, h_1=1$? Ok, una congruenza è vera ma l'altra no, ma quello che dici non è così intuitivo come lo fai sembrare... devi dimostrarlo!

[Dudin]

Hint?