[L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?

[Gerald Lambeau]

Siano $n, m>1$ due interi fissati. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi $l$ tali che l'equazione $x_1^n+x_2^n+\dots+x_n^n+x_{n+1}^n=l$ ammette almeno $m$ soluzioni $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ (gli $x_i$ sono tutti distinti tra di loro) negli interi positivi tali che siano tutte diverse (le soluzioni, dico).
Nota: due $(n+1)$-uple $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ e $(y_1, y_2, \dots, y_n, y_{n+1})$ si considerano diverse se e solo se non è possibile ottenere una dall'altra attraverso una permutazione dei suoi elementi.

[Vinciii]

Per curiosità, da dove è preso?

[Gerald Lambeau]

Lo scrivo qua sotto, ma non andate a guardare la fonte perché la soluzione è praticamente identica a quella di questo problema, che è una sua generalizzazione:

Testo nascosto:

Cesenatico 2014 - 5.

[Veritasium]

Siano $n, m>1$ due interi fissati. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi $l$ tali che l'equazione $x_1^n+x_2^n+\dots+x_n^n+x_{n+1}^n=l$ ammette almeno $m$ soluzioni $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ (gli $x_i$ sono tutti distinti tra di loro) negli interi positivi tali che siano tutte diverse (le soluzioni, dico).
Nota: due $(n+1)$-uple $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ e $(y_1, y_2, \dots, y_n, y_{n+1})$ si considerano diverse se e solo se non è possibile ottenere una dall'altra attraverso una permutazione dei suoi elementi.

Se non sbaglio è il trucco di

Testo nascosto:

Cese 5 di qualche anno fa

Che

Testo nascosto:

$\binom{N}{n+1}$ è un polinomio di grado $n+1$ in $N$ e $(n+1)N^n$ é di grado $n$ da cui giustificando bene segue la tesi.

[Gerald Lambeau]

Mi aspettavo che sarebbe durato di più!
Comunque (a parte i dettagli formali che possiamo anche ignorare) è giusta.