Siano $n, m>1$ due interi fissati. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi $l$ tali che l'equazione $x_1^n+x_2^n+\dots+x_n^n+x_{n+1}^n=l$ ammette almeno $m$ soluzioni $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ (gli $x_i$ sono tutti distinti tra di loro) negli interi positivi tali che siano tutte diverse (le soluzioni, dico).
Nota: due $(n+1)$-uple $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ e $(y_1, y_2, \dots, y_n, y_{n+1})$ si considerano diverse se e solo se non è possibile ottenere una dall'altra attraverso una permutazione dei suoi elementi.
[L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?
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"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?
Per curiosità, da dove è preso?
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Re: [L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?
Lo scrivo qua sotto, ma non andate a guardare la fonte perché la soluzione è praticamente identica a quella di questo problema, che è una sua generalizzazione:
Testo nascosto:
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?
Se non sbaglio è il trucco diGerald Lambeau ha scritto:Siano $n, m>1$ due interi fissati. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi $l$ tali che l'equazione $x_1^n+x_2^n+\dots+x_n^n+x_{n+1}^n=l$ ammette almeno $m$ soluzioni $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ (gli $x_i$ sono tutti distinti tra di loro) negli interi positivi tali che siano tutte diverse (le soluzioni, dico).
Nota: due $(n+1)$-uple $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ e $(y_1, y_2, \dots, y_n, y_{n+1})$ si considerano diverse se e solo se non è possibile ottenere una dall'altra attraverso una permutazione dei suoi elementi.
Testo nascosto:
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Re: [L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?
Mi aspettavo che sarebbe durato di più!
Comunque (a parte i dettagli formali che possiamo anche ignorare) è giusta.
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