Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Salve a tutti, in vista della Gara di Febbraio mi stavo allenando sulle gare vecchie, e mi sono imbattuto in un problema (il n.15 di Febbraio 2017) a cui ho trovato una soluzione alternativa, che volevo proporvi per conferma.

Il testo:

(a) Dimostrare che esistono innite terne (x;y;z) di interi positivi tali che x2 + y2 + z2 sia un
quadrato perfetto.
(b) Dimostrare che esistono innite terne (x;y;z) di interi positivi tali che x2 + y2 + z2 sia un
quadrato perfetto e con la proprieta che il massimo comun divisore dei tre numeri (x;y;z)
sia 1.

Innanzitutto per intuizione mi viene da dire che dimostrare il punto (a) equivale a dimostrare il fatto che esistono infinite coppie xy tali che x2+y2 è un quadrato perfetto.
Infatti riscrivendo x2+y2+z2 come (x2+y2) + z2, se x2+y2 è un quadrato perfetto l'intera espressione è semplicemente una nuova somma di quadrati.

Infine posso dimostrare che esistono infinite coppie xy tali che x2+y2 è un quadrato perfetto osservando l'esistenza di infiniti triangoli rettangoli di lati interi diversi. (dando origine ad infinite terne pitagoriche).
Considerando la prima terna pitagorica (3,4,5) e la seconda (5,12,13) e le loro derivate dimostro anche il punto (b).

Cosa ne pensate? Vedete qualche errore evidente? Non sono un maestro nel dimostrare quindi la spiegazione è probabilmente molto poco chiara, scusate

Non è detto che funzioni come dici tu. Prendi $(x,y,z)=(3,4,5)$, ottieni $50 \neq n^2$

matpro98 ha scritto:Non è detto che funzioni come dici tu. Prendi $(x,y,z)=(3,4,5)$, ottieni $50 \neq n^2$

Penso intenda tipo $3^2+4^2+12^2=13^2$. Il fatto è che non ho capito bene la cosa delle derivate, è vero che $(3h,4h,12h)$ funziona sempre, ma direi che non rimangono coprimi...

Ti consiglierei di parametrizzare esplicitamente le soluzioni se vuoi dimostrare che sono infinite, altrimenti è spesso difficile capire cosa intendi... insomma un insieme infinito di soluzioni che soddisfano le condizioni lo devi scrivere esplicitamente, deve essere chiaro quali sono i suoi elementi.

mr96 ha scritto:

matpro98 ha scritto:Non è detto che funzioni come dici tu. Prendi $(x,y,z)=(3,4,5)$, ottieni $50 \neq n^2$

Penso intenda tipo $3^2+4^2+12^2=13^2$. Il fatto è che non ho capito bene la cosa delle derivate, è vero che $(3h,4h,12h)$ funziona sempre, ma direi che non rimangono coprimi...

Esatto! Giusto ho fatto una svista sulla questione dei coprimi, dovrei trovare due terne adatte e parametrizzarle quindi...

Grazie mille!