Gaussian Pairing Tool

[Gizeta]

La controllo per bene domani, perché ora, per quanto mi sforzi, il cervello si rifiuta di elaborare e reclama a gran voce il riposo .
Ti lascio un piccolo hint per raggiungere la "forma bella":

Testo nascosto:

La simmetria non esiste solo in geometria

[RenBerlin]

Anche il mio cervello reclama riposo quindi non riesco a collegare il tuo hint a un qualche raccoglimento particolare o cose simili.. L'unico passo avanti che vedo é il riscrivere la somma di potenza come $\displaystyle\frac{p_a^{m_{a_1}+1}+1}{p_a-1}$ (scriver questo in laTex mi ha dato il colpo di grazia ahahah)
A domani per il proseguimento, grazie

[xXStephXx]

Intanto metto il metodo brutto:

[tex]p_1[/tex] può comparire con ogni suo esponente possibile tante volte quanto è il prodotto degli altri esponenti aumentati di 1. (In altre parole per ognuno dei divisori che non contengono [tex]p_1[/tex], [tex]p_1[/tex] può comparire con un esponente a scelta tra [tex]1[/tex] ed [tex]m_1[/tex].
Ora senza dilungarsi troppo sul conteggio si ha che il contributo dato da [tex]p_1[/tex] è [tex]\displaystyle{ p_1^{\frac{m_1(m_1+1)}{2}(m_2+1)(m_3+1)...(m_n+1)} = p_1^{\frac{m_1d(a)}{2}}}[/tex]
Ripetendo lo stesso ragionamento per tutti i primi e moltiplicando i contributi ottieni che il prodotto vale [tex]\displaystyle a^{\frac{d(a)}{2}}[/tex]

Ora però trova il metodo bello

[Archimede]

Credo che questa si la forma bella del tre:

Testo nascosto:

Detto [tex]k[/tex] l'insieme composto dai divisori di [tex]n[/tex]
[tex]k=(1,k_1,k_2,...,\frac{n}{k_1},n)[/tex]

p.s. scusate le parentesi tonde, ma per qualche motivo non
mi prendeva le graffe

Allora detto [tex]m[/tex] il prodotto di tutti gli elementi di [tex]k[/tex]
[tex]m=1(k_1)(k_2)(k_3)...(\frac{n}{k_1})(n)[/tex]

Ora scrivo:

[tex]m=1(k_1)(k_2)(k_3)...(\frac{n}{k_1})(n)[/tex]
[tex]m=1(k_1)(k_2)(k_3)...(\frac{n}{k_1})(n)[/tex]

Moltiplico membro a membro

[tex]m^2=[1(n)][k_1(\frac{n}{k_1})]...[k_s(\frac{n}{k_s})][/tex]
Quindi

[tex]m=n^\frac{k}{2}[/tex]

[Gizeta]

Ok, adesso è tutto chiaro e funzionante.
Forse è il caso di esplicitare quello che per qualcuno potrebbe essere ostico da interpretare.

Sia [tex]a=p_1^{m_1}p_2^{m_2}[/tex], ci chiediamo quante volte il primo [tex]p_1[/tex] compaia nell'eventuale prodotto di tutti i divisori.
Prendiamo il primo esponente [tex]p_1^1[/tex], è abbastanza intuitivo che scelta una qualsiasi potenza di [tex]p_2[/tex] si avrà un divisore di [tex]a[/tex] del tipo [tex]p_1^1p_2^i[/tex], con [tex]0\le i \le m[/tex], di conseguenza i divisori di questo tipo sono esattamente [tex]m+1[/tex] e quindi moltiplicando si avrà [tex](p_1)^{m+1}[/tex]. Procedendo in questo modo per ognuno degli esponenti di [tex]p_1[/tex] si giungerà a

[tex](p_1)^{m+1}(p_1)^{2(m+1)}(p_1)^{3(m+1)}...(p_1)^{n(m+1)}=(p_1)^{(m+1)+2(m+1)+3(m+1)+...+n(m+1)}=(p_1)^{(m+1)(1+2+3+4+...+n)}=(p_1)^{(m+1)\frac{n(n+1)}{2}}=(p_1)^{\frac{d(a)n}{2}}[/tex].

Ripetendo il ragionamento per ogni primo ed estendendolo ad un generico numero di primi si perviene alla soluzione.

Ok, Archimede, se con k intendi la funzione [tex]d(n)[/tex] definita nel secondo problema, però pensiamola in un altro modo (è sostanzialmente un hint per il problema quattro): sia [tex]n[/tex] il numero considerato e [tex]d[/tex] un suo divisore, associamo a [tex]d[/tex] il suo naturale compagno, ossia il divisore [tex]\frac{n}{d}[/tex], adesso appare evidente che moltiplicando questi due divisori altro non ottengo che nuovamente il numero [tex]n[/tex] ed il numero di coppie di divisori di questo tipo è esattamente [tex]\frac{d(n)}{2}[/tex].

E se [tex]n[/tex] fosse un quadrato perfetto?

[Archimede]

non penso cambi nulla perchè anche se ci fosse un [tex]k_s[/tex] tale che [tex]k_s^2=n[/tex] quando io vado a fare [tex]m^2[/tex] esso viene moltiplicato per sè dando [tex]n[/tex] come tutti gli altri. O no?

[Gizeta]

Non ho chiarito sufficientemente la mia domanda, scusa, intendevo dire nel calcolo vero e proprio del prodotto dei divisori.
Sia [tex]n=k^2[/tex], allora applicando la formula giungiamo a

[tex]n^{\frac{{d(n)}}{2}}= \sqrt{n^{d(n)}}=\sqrt{(k^2)^{d(n)}}= \sqrt{k^{2{d(n)}}}= k^{d(n)}[/tex]

[Archimede]

Forse sarò tonto io, ma non credo che affermare:

[tex]n^{\frac{{d(n)}}{2}}= k^{d(n)}[/tex]

Mi dia problemi.
D'altronde otterresti lo stesso risultato anche con la tua formula, che poi sarebbe come la mia solo con alcune lettere cambiate...

[Gizeta]

Intendevo dire che se [tex]n[/tex] è un quadrato perfetto possiamo semplificare l'espressione in quel modo, non c'è alcun problema

[Archimede]

ah ecco, e io che stavo a riguardare tutti i conti in cerca dell'errore