Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Buongiorno o buonasera a tutti (dipende da quando state leggendo il post).
Scrivo per chiedervi un aiuto: ho trovato un testo di una simulazione di una gara di febbraio, senza però le soluzioni. La ho svolta e chiedo a voi una valutazione su uno degli esercizi dimostrativi (Vorrei sapere se è giusta, quanto avrei preso in un'ipotetica gara di febbraio e se esiste un modo più semplice per dimostrarla?...).

Questo è il testo: "Siano a,b interi non negativi. Determinare tutte le coppie (a,b) che soddisfano [tex]a^{4}-b^{2}=a^{2}[/tex].

Questa è la mia dimostrazione:
Suppongo che [tex]b=0[/tex],
ottengo: [tex]a^{4}-0=a^{2}[/tex], da cui ottengo le due soluzione [tex]a=1[/tex] e [tex]a=0[/tex].
Dimostro che sono solo queste le coppie cercate, per farlo uso la tecnica della dimostrazione per assurdo, suppongo quindi che [tex]b\ge1[/tex].
[tex]a^{4}-b^{2}=a^{2}[/tex] ora si può scomporre come:
[tex](a^{2}-b)(a^{2}+b)=a^{2}[/tex] con [tex]a^{2}+b[/tex] intero e maggiore di [tex]a^{2}[/tex].
[tex]a^{2}+b[/tex] è un divisore di [tex]a^{2}[/tex], e quindi lo divide, però essendo maggiore non può dividerlo.
Siamo giunti ad un assurdo, quindi la dimostrazione è terminata, le uniche coppie sono [tex](a,b)=(0,0),(1,0)[/tex].

Se avete dubbi su ciò che ho scritto, non esitate a chiedere.
Vi ringrazio di un vostro futuro aiuto

Direi che sia giusta, si tratta di una dimostrazione abbastanza diretta, per la quale si può ottenere anche il massimo del punteggio con semplicità; magari io avrei specificato che [tex]a^2+b[/tex] non può dividere [tex]a^2[/tex] perché, oltre ad essere maggiore, [tex]a>0[/tex], altrimenti ci sarebbe il caso [tex]a=0[/tex] in cui la divisibilità si presenterebbe.

Più semplicemente: da [tex]a^4-b^2=a^2[/tex] si ottiene [tex]a^4-a^2=b^2[/tex], ovvero [tex]b^2=a^2(a^2-1)[/tex]. Per [tex]a=0[/tex] e [tex]a=1[/tex] il prodotto di destra si annulla e si ottiene immediatamente [tex]b=0[/tex], per [tex]a \geq 2[/tex] si osserva che deve essere [tex]a^2-1=\left(\dfrac{b}{a}\right)^2[/tex] . Ma non esistono due quadrati perfetti consecutivi, a parte 0 e 1, quindi non possono esserci ulteriori soluzioni.

Grazie mille della risposta.