Diofantea con primi

[Drago]

Trovare tutte le soluzioni intere all'equazione $$p^2+q^2=pqn+1$$ con $p,q\in\mathbb P$ e $n\in\mathbb N$

N.B: $\mathbb P=\{2,3,5,7,\dots\}$ è l'insieme dei primi e $\mathbb N=\{0,1,2,3,\dots\}$ è l'insieme dei numeri naturali

[Livex]

qualcuno intende provarci?

[Drago]

Se l'hai risolto adesso e non l'avevi già visto, posta pure la tua soluzione!

[Livex]

innanzitutto una domanda..
con[tex]p,q \in P[/tex]intendi che sono pari o che sono primi?

[Drago]

Primi
Scusate, ora chiarisco

[Livex]

boh..è che mi sembra di rubare tutti gli esercizi..
comunque [tex]\displaystyle p^2+q^2=pqn+1[/tex]
cio significa che [tex]\displaystyle q^2-1=pqn-p^2[/tex]
e si fa la solita scomposizione [tex]\displaystyle (q+1)(q-1)=p(qn-p)[/tex]
[tex]\displaystyle q,p,n[/tex] sono interi,cio significa che volendo posso trasformare in [tex]\displaystyle \frac{(q+1)(q-1)}{p}=qn-p[/tex] e siccome [tex]\displaystyle qn-p[/tex] è intero [tex]\displaystyle p|q+1 \vee p|q-1[/tex] ora [tex]\displaystyle q,p[/tex] non possono essere uguali perche altrimenti l'MCD[tex]\displaystyle (p,q-1) e (p,q+1)[/tex] sarebbe uno in quanto consecutivi e p non divide [tex]\displaystyle q^2-1[/tex]
ora bisogna dire qualcosina di piu,siccome abbiamo detto che sono diversi allora uno dei due è maggiore,poniamo per comodità [tex]\displaystyle p>q[/tex]
inoltre abbiamo che [tex]\displaystyle p|q+1[/tex]quindi [tex]\displaystyle p-1<q+1[/tex] infine [tex]\displaystyle p-2<q[/tex],ma [tex]\displaystyle p>q[/tex],quindi [tex]\displaystyle p-1\ge q[/tex] e [tex]\displaystyle p-1\le q[/tex]
questo sistema di disuguaglianze(credo si chiami cosi) si risolve solo con [tex]\displaystyle p-1=q[/tex]
di conseguenza abbiamo due primi consecutivi che possono essere solo p=3 e q=2,dimostriamolo
sia [tex]k[/tex] un numero primo e per assurdo [tex]k+1[/tex] un altro numero primo
abbiamo che [tex]\displaystyle k\equiv1\pmod{2}[/tex] altrimenti sarebbe divisibile per 2
ma anche [tex]\displaystyle k+1\equiv1\pmod{2}[/tex], sottraiamo ambo i membri 1 e otteniamo [tex]\displaystyle k\equiv0\pmod{2}[/tex] e qui abbiamo un assurdo (la mia prima dimostrazione per assurdo siii! )quindi l'unico primo q accettabile è un primo divisibile per 2,alias 2
quindi si andrà a sostituire i valori trovati per p=2 e q=3 e poi per p=3 e q=2 e si ricava n

[Drago]

Bene
Un paio di cose:
- quando dici "per comodità" è sbagliato; puoi imporre dei vincoli su chi è più grande perchè l'equazione è simmetrica (se scambi le variabili ottieni la stessa cosa), ed in questo caso si dice "WLOG" (Without Loss Of Generality)
- dovresti chiarire perchè può solo essere $p\mid q+1$ e non $q-1$ (basta che dici "per la disuguaglianza imposta prima")
- la dimostrazione dei primi consecutivi mi pare sia sbagliata; si può dire "tra due numeri consecutivi c'è un pari, l'unico primo pari è 2, l'altro è 1 o 3, ma 1 non è primo, quindi è 3"
- quando dici "si ricava $n$", dovresti ricavarlo... (questo può costare parecchi punti, ed oltretutto è un calcolo banale)

[Livex]

- la dimostrazione dei primi consecutivi mi pare sia sbagliata; si può dire "tra due numeri consecutivi c'è un pari, l'unico primo pari è 2, l'altro è 1 o 3, ma 1 non è primo, quindi è 3"

perchè è sbagliata?forse non mi sono spiegato bene,quello che ho fatto io con le congruenze è praticamente quello che hai detto tu ha parole,che se [tex]\displaystyle k e k+1[/tex] sono due primi consecutivi e [tex]\displaystyle k[/tex] è dispari,allora [tex]\displaystyle k+1[/tex] è pari, quindi 2...
ovviamente il ragionamento è espandibile anche a [tex]k-1[/tex],però in effetti non dichiarato alcune eccezioni che sono appunto k=1

- quando dici "si ricava n", dovresti ricavarlo... (questo può costare parecchi punti, ed oltretutto è un calcolo banale)

in gara l'avrei fatto, solo che dopo tipo 40 minuti per scrivere tutto in latex non riuscivo piu a stare concentrato e perdere altri 15 minuti per riscrivere le equazioni in latex sarebbe stato estenuante...

[Drago]

perchè è sbagliata?forse non mi sono spiegato bene,quello che ho fatto io con le congruenze è praticamente quello che hai detto tu ha parole,che se [tex]\displaystyle k e k+1[/tex] sono due primi consecutivi e [tex]\displaystyle k[/tex] è dispari,allora [tex]\displaystyle k+1[/tex] è pari, quindi 2...
ovviamente il ragionamento è espandibile anche a [tex]k-1[/tex],però in effetti non dichiarato alcune eccezioni che sono appunto k=1

Uhm, ok forse è giusta...
In pratica tu hai imposto $k\neq 2$ e $k+1\neq 2$ e hai trovato un assurdo sulla parità, quindi per forza $k=2$... Se così fosse, avresti dovuto specificare cosa era e cosa non era $k$

[Livex]

esatto,hai ragione,è proprio cosi