$p\mid a^{x-1}-b^{x-1}$

[aetwaf]

Sia $p\in {\mathbb P}$ e $x$ il numero dei residui quadratici $\pmod {p^2}$.
Trovare tutti i valori di $p$ che soddisfino
\begin{equation}
p\mid a^{x-1}-b^{x-1}
\end{equation}
$\forall a,b\in {\mathbb N}$ con $(a,p)=(b,p)=1$

[Gizeta]

Lemma 1: Il numero di residui quadratici modulo [tex]p^2[/tex] è [tex]\displaystyle \frac{p^2-p}{2}+1[/tex] .

Lemma 2


[tex]\displaystyle a^{\frac{p^2-p}{2}}-b^{\frac{p^2-p}{2}}=\left (a^{\frac{p-1}{2}} \right )^p-\left (b^{\frac{p-1}{2}} \right )^p[/tex]

Per il lemma 2, se [tex]p \not = 2[/tex] e a è un residuo quadratico [tex]\mod p[/tex] il suddetto numero è sempre divisibile per [tex]p[/tex].

Se [tex]p=2[/tex] abbiamo [tex]p \mid a-b[/tex], che avviene sse [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] hanno la stessa parità.


p.s. Forse non è la risposta che avresti voluto, dato che ho posto condizioni su [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] piuttosto che su [tex]p[/tex] (il punto è che senza quelle condizioni non credo funzioni)

[aetwaf]

Tra le condizioni ho posto $ p\mid a-b $ $\forall a, b\ne 0 \pmod p $ quindi vale effettivamente solo per $ p=2$.

Testo nascosto:

infatti $ a^{x-1}=1$ o $-1\pmod p $. Quindi vale solo per $0=2=-2\pmod p $

[aetwaf]

In effetti la parte meno facile era trovare il numero dei residui quadratici $\pmod {p^2}$

[Gizeta]

Vogliamo sapere quanti sono i possibili resti di un quadrato [tex]\mod p^2[/tex].
Dati quindi tutti i possibili resti [tex]\mod p^2[/tex] (sono [tex]p^2[/tex]) devo togliere anzitutto tutti i quadrati (eccetto uno) [tex]\equiv 0 \pmod p[/tex], dato un residuo modulo [tex]p^2[/tex] esso al quadrato sarà divisibile per [tex]p[/tex] sse è della forma [tex]pk[/tex], con [tex]0\le k \le p-1[/tex], questi sono dunque [tex]p[/tex].
Togliendo ho

[tex]p^2-p[/tex]

Adesso devo togliere da questi eventuali ripetizioni che si vengono a creare quando elevo al quadrato (senza considerare i multipli di [tex]p^2[/tex] già esclusi)
In particolare, basta provare un caso semplice come [tex]p=9[/tex], ogni residuo si presenta esattamente due volte dopo l'elevamento al quadrato, infatti dato il residuo [tex]k[/tex] ci sarà anche quello [tex]p^2-k[/tex] (ad eccezione di [tex]p[/tex] stesso, ma abbiamo escluso i multipli) che ridotto [tex]\mod p^2[/tex] è [tex]-k[/tex], ma elevato al quadrato diventa [tex]k^2[/tex] esattamente come [tex]k[/tex]. Dunque devo dividere per due quello sopra

[tex]\displaystyle \frac{p^2-p}{2}[/tex]

Ed infine aggiungiamo nuovamente il residuo quadratico 0.

[tex]\displaystyle \frac{p^2-p}{2}+1[/tex]

[aetwaf]

Non mi è chiaro solo come dimostri che ognuno si ripete $2 $ volte

[Gizeta]

Prendi [tex]p^2=9[/tex], i possibili resti sono [tex]0,1,2,3,4,5,6,7,8[/tex], togli tutti i numeri che al quadrato sono multipli di [tex]p^2[/tex], ti rimangono [tex]1,2,4,5,7,8[/tex], ma [tex]1,2,4\equiv -8,-7,-5 \pmod 9[/tex] quindi puoi scrivere i resti meno i multipli come [tex]-8,-7,-5,5,7,8[/tex], e adesso è abbastanza evidente che elevando al quadrato ciascuno i meno spariscono e rimani con due residui quadratici uguali.

Generalizzando: tolgo dai [tex]p^2[/tex] resti possibili quelli che al quadrato sono multipli di [tex]p[/tex], e sono [tex]p[/tex], rimango con [tex]p^2-p[/tex] (un numero pari) resti e se c'è il resto [tex]k[/tex] ci sarà anche quello che è congruo a [tex]-k[/tex], elevando al quadrato ho due resti uguali.

[aetwaf]

Hai ragione, scusa, io intendevo un'altra cosa, non mi sono spiegato.
Se non ho letto o capito male tu non escludi del tutto l'eventualità $n^2=m^2 \pmod {p^2}$ con $n\ne p^2-m$, $n\ne kp$, $n\ne m$.

[Gizeta]

Se dovessero esistere due numeri di quel tipo allora

[tex](n-m)(n+m) \equiv 0 \pmod p^2 \Rightarrow n \equiv \pm m \pmod p^2[/tex], ma entrambi sono dei resti e conseguentemente sono minori di [tex]p^2[/tex], dunque siamo proprio in uno dei tre casi che esclusi.

[aetwaf]

Ora funziona tutto