Cifre delle unità

[Drago]

Sia $u(n)$ la funzione che ad $n$ intero positivo associa la sua cifra delle unità.
Per quali $n$ vale $u(n)=u\left(n^{2013}\right)$? E se sostituissimo $2012$ a $2013$?

[Lasker]

Credo che per la prima domanda ([tex]2013[/tex]) la risposta sia:
[tex]n=0\pmod{10}[/tex]
[tex]n=1\pmod{10}[/tex]
[tex]n=4\pmod{10}[/tex]
[tex]n=5\pmod{10}[/tex]
[tex]n=6\pmod{10}[/tex]
[tex]n=9\pmod{10}[/tex]
E per la seconda ([tex]2012[/tex]) solo
[tex]n=0\pmod{10}[/tex]
[tex]n=1\pmod{10}[/tex]
[tex]n=5\pmod{10}[/tex]
[tex]n=6\pmod{10}[/tex]

[Drago]

La seconda è giusta, la prima no
Metti anche il/i procedimento/i, è la cosa più importante!

[Lasker]

Ahh, ho lavorato modulo 5 invece che 4...

se il numero finisce con 0 il periodo è 1 , ogni sua potenza finisce con 0
se il numero finisce con 1, il periodo è 1, ogni sua potenza finisce con 1
se il numero finisce con 2 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 2 (2,4,8,6,2,...)
se il numero finisce con 3 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 3 (3,9,7,1,3,...)
se il numero finisce con 4 il periodo è 2, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{2}[/tex] finisce con 4 (4,6,4,6,4,..)
se il numero finisce con 5 il periodo è 1 , ogni sua potenza finisce con 5
se il numero finisce con 6 il periodo è 1 , ogni sua potenza finisce con 6
se il numero finisce con 7 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 7 (7,9,3,1,7,...)
se il numero finisce con 8 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 8 (8,4,2,6,8,...)
se il numero finisce con 9 il periodo è 2, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{2}[/tex] finisce con 9 (9,1,9,1,9,..)

essendo [tex]2013=1\pmod{2;4}[/tex], tutti i numeri godono della proprietà

[Livex]

scrivo anche la mia

innanzitutto riscriviamo sotto congruenza..
[tex]\displaystyle n\equiv n^{2013}\pmod{10}[/tex]
qui scomodo inutilmente l'ordine moltiplicatico
abbiamo che affinche valga la congruenza di prima ORDn(10) deve dividere [tex]\displaystyle 2013-1=2012[/tex] perche la congruenza di prima puo essere riscritta come [tex]\displaystyle n\equiv n^{k*ORDn(10)+1}[/tex] dove k è appunto un divisore di 2012(spero di non aver scritto una marea di fesserie..)
siccome possiamo nelle congruenze ridurre la base,avremo 10 possibili casi da studiare
ovviamente vale per [tex]\displaystyle n\equiv0\pmod{10}[/tex] perche ORD0(10)=1 che divide 2012 (vale per 0,1,6,5)
poi abbiamo [tex]\displaystyle n\equiv2\pmod{10}[/tex] e vale perche ORD2(10)=4 che divide 2012 (vale per 2,3,7,8)
inoltre vale per [tex]\displaystyle n\equiv4\pmod{10}[/tex] sempre perche ORD4(10)=2 che divide 2012(vale per 4,9)
ammeno che non mi sia perso qualche numero o che abbia sbagliato la parte delirante in cui spiegavo l'ordine moltiplicatico,penso sia giusto

per il secondo punto
[tex]\displaystyle n\equiv n^{2012}[/tex]
per gli stessi motivi scritti sopra ORDn(10) deve dividere [tex]\displaystyle 2012-1=2011[/tex] che è primo quindi l'ORDn deve essere 1
quindi vale per tutti gli n congrui a [tex]\displaystyle 0,1,6,5[/tex] modulo 10