Sia $u(n)$ la funzione che ad $n$ intero positivo associa la sua cifra delle unità.
Per quali $n$ vale $u(n)=u\left(n^{2013}\right)$? E se sostituissimo $2012$ a $2013$?
Cifre delle unità
Re: Cifre delle unità
Credo che per la prima domanda ([tex]2013[/tex]) la risposta sia:
[tex]n=0\pmod{10}[/tex]
[tex]n=1\pmod{10}[/tex]
[tex]n=4\pmod{10}[/tex]
[tex]n=5\pmod{10}[/tex]
[tex]n=6\pmod{10}[/tex]
[tex]n=9\pmod{10}[/tex]
E per la seconda ([tex]2012[/tex]) solo
[tex]n=0\pmod{10}[/tex]
[tex]n=1\pmod{10}[/tex]
[tex]n=5\pmod{10}[/tex]
[tex]n=6\pmod{10}[/tex]
[tex]n=0\pmod{10}[/tex]
[tex]n=1\pmod{10}[/tex]
[tex]n=4\pmod{10}[/tex]
[tex]n=5\pmod{10}[/tex]
[tex]n=6\pmod{10}[/tex]
[tex]n=9\pmod{10}[/tex]
E per la seconda ([tex]2012[/tex]) solo
[tex]n=0\pmod{10}[/tex]
[tex]n=1\pmod{10}[/tex]
[tex]n=5\pmod{10}[/tex]
[tex]n=6\pmod{10}[/tex]
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: Cifre delle unità
La seconda è giusta, la prima no
Metti anche il/i procedimento/i, è la cosa più importante!
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Re: Cifre delle unità
Ahh, ho lavorato modulo 5 invece che 4...
se il numero finisce con 0 il periodo è 1 , ogni sua potenza finisce con 0
se il numero finisce con 1, il periodo è 1, ogni sua potenza finisce con 1
se il numero finisce con 2 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 2 (2,4,8,6,2,...)
se il numero finisce con 3 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 3 (3,9,7,1,3,...)
se il numero finisce con 4 il periodo è 2, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{2}[/tex] finisce con 4 (4,6,4,6,4,..)
se il numero finisce con 5 il periodo è 1 , ogni sua potenza finisce con 5
se il numero finisce con 6 il periodo è 1 , ogni sua potenza finisce con 6
se il numero finisce con 7 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 7 (7,9,3,1,7,...)
se il numero finisce con 8 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 8 (8,4,2,6,8,...)
se il numero finisce con 9 il periodo è 2, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{2}[/tex] finisce con 9 (9,1,9,1,9,..)
essendo [tex]2013=1\pmod{2;4}[/tex], tutti i numeri godono della proprietà
se il numero finisce con 0 il periodo è 1 , ogni sua potenza finisce con 0
se il numero finisce con 1, il periodo è 1, ogni sua potenza finisce con 1
se il numero finisce con 2 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 2 (2,4,8,6,2,...)
se il numero finisce con 3 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 3 (3,9,7,1,3,...)
se il numero finisce con 4 il periodo è 2, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{2}[/tex] finisce con 4 (4,6,4,6,4,..)
se il numero finisce con 5 il periodo è 1 , ogni sua potenza finisce con 5
se il numero finisce con 6 il periodo è 1 , ogni sua potenza finisce con 6
se il numero finisce con 7 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 7 (7,9,3,1,7,...)
se il numero finisce con 8 il periodo è 4, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{4}[/tex] finisce con 8 (8,4,2,6,8,...)
se il numero finisce con 9 il periodo è 2, ogni potenza con esponente [tex]k=1\pmod{2}[/tex] finisce con 9 (9,1,9,1,9,..)
essendo [tex]2013=1\pmod{2;4}[/tex], tutti i numeri godono della proprietà
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
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Re: Cifre delle unità
scrivo anche la mia
innanzitutto riscriviamo sotto congruenza..
[tex]\displaystyle n\equiv n^{2013}\pmod{10}[/tex]
qui scomodo inutilmente l'ordine moltiplicatico
abbiamo che affinche valga la congruenza di prima ORDn(10) deve dividere [tex]\displaystyle 2013-1=2012[/tex] perche la congruenza di prima puo essere riscritta come [tex]\displaystyle n\equiv n^{k*ORDn(10)+1}[/tex] dove k è appunto un divisore di 2012(spero di non aver scritto una marea di fesserie..)
siccome possiamo nelle congruenze ridurre la base,avremo 10 possibili casi da studiare
ovviamente vale per [tex]\displaystyle n\equiv0\pmod{10}[/tex] perche ORD0(10)=1 che divide 2012 (vale per 0,1,6,5)
poi abbiamo [tex]\displaystyle n\equiv2\pmod{10}[/tex] e vale perche ORD2(10)=4 che divide 2012 (vale per 2,3,7,8)
inoltre vale per [tex]\displaystyle n\equiv4\pmod{10}[/tex] sempre perche ORD4(10)=2 che divide 2012(vale per 4,9)
ammeno che non mi sia perso qualche numero o che abbia sbagliato la parte delirante in cui spiegavo l'ordine moltiplicatico,penso sia giusto
per il secondo punto
[tex]\displaystyle n\equiv n^{2012}[/tex]
per gli stessi motivi scritti sopra ORDn(10) deve dividere [tex]\displaystyle 2012-1=2011[/tex] che è primo quindi l'ORDn deve essere 1
quindi vale per tutti gli n congrui a [tex]\displaystyle 0,1,6,5[/tex] modulo 10
innanzitutto riscriviamo sotto congruenza..
[tex]\displaystyle n\equiv n^{2013}\pmod{10}[/tex]
qui scomodo inutilmente l'ordine moltiplicatico
abbiamo che affinche valga la congruenza di prima ORDn(10) deve dividere [tex]\displaystyle 2013-1=2012[/tex] perche la congruenza di prima puo essere riscritta come [tex]\displaystyle n\equiv n^{k*ORDn(10)+1}[/tex] dove k è appunto un divisore di 2012(spero di non aver scritto una marea di fesserie..)
siccome possiamo nelle congruenze ridurre la base,avremo 10 possibili casi da studiare
ovviamente vale per [tex]\displaystyle n\equiv0\pmod{10}[/tex] perche ORD0(10)=1 che divide 2012 (vale per 0,1,6,5)
poi abbiamo [tex]\displaystyle n\equiv2\pmod{10}[/tex] e vale perche ORD2(10)=4 che divide 2012 (vale per 2,3,7,8)
inoltre vale per [tex]\displaystyle n\equiv4\pmod{10}[/tex] sempre perche ORD4(10)=2 che divide 2012(vale per 4,9)
ammeno che non mi sia perso qualche numero o che abbia sbagliato la parte delirante in cui spiegavo l'ordine moltiplicatico,penso sia giusto
per il secondo punto
[tex]\displaystyle n\equiv n^{2012}[/tex]
per gli stessi motivi scritti sopra ORDn(10) deve dividere [tex]\displaystyle 2012-1=2011[/tex] che è primo quindi l'ORDn deve essere 1
quindi vale per tutti gli n congrui a [tex]\displaystyle 0,1,6,5[/tex] modulo 10