Una potenza di 2
Una potenza di 2
Risolvere negli interi positivi $(x+y)(xy+1)=2^z$
- iTz_CaBe_95
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Re: Una potenza di 2
$x=2^n-1$ e $y=2^n+1$ e viceversa
$n<z$
Correggetemi se sbaglio...
$n<z$
Correggetemi se sbaglio...
Re: Una potenza di 2
non basta...iTz_CaBe_95 ha scritto:$x=2^n-1$ e $y=2^n+1$ e viceversa
$n<z$
Correggetemi se sbaglio...
cosi trovi alcune soluzioni ma non tutte,prendi per esempio [tex]\displaystyle x=1,y=15[/tex]
prova a farti i primi casi..
potrebbero saltar fuori relazioni molto interessanti,da li potrai risalire a ritroso alla dimostrazione...
Re: Una potenza di 2
Questa è una classe di soluzioni...iTz_CaBe_95 ha scritto:$x=2^n-1$ e $y=2^n+1$ e viceversa
$n<z$
Correggetemi se sbaglio...
Non so cosa vuoi dire con $n<z$, ma in realtà vale $z=3n+1$
Ah, dovresti dimostrare che le soluzioni che trovi sono tutte e sole
Re: Una potenza di 2
Sei sicuro che valga solo per $z=3n+1$ perche sostituendo [tex]\displaystyle x=1, y=15[/tex],si ottiene [tex]\displaystyle 2^8[/tex]Non so cosa vuoi dire con $n<z$, ma in realtà vale $z=3n+1$
- iTz_CaBe_95
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Re: Una potenza di 2
Ok, mi sa che ho sbagliato tutto con questo esercizio:) ahah
Re: Una potenza di 2
Io mi riferivo alla classe di soluzioni che ha trovato lui, ovvero $(x,y,z)=(2^n\pm1,2^n\mp1,3n+1)$ (non aveva però esplicitato la $z$, ed è questo che volevo fargli notare)wall98 ha scritto:Sei sicuro che valga solo per $z=3n+1$ perche sostituendo [tex]\displaystyle x=1, y=15[/tex],si ottiene [tex]\displaystyle 2^8[/tex]Non so cosa vuoi dire con $n<z$, ma in realtà vale $z=3n+1$
Re: Una potenza di 2
prima della dimostrazione qualche premessa:
mi scuso per quanto scrivero,ma non sono riuscito ad accorciare la dimostrazione
numerero alcuni punti perche altrimenti sara difficile richiamarli quando opportuno
intanto dimostriamo che l'equazione [tex]\displaystyle (x+y)(xy+1)=2^{z}[/tex] ha soluzione se e solo se [tex]\displaystyle z\ge2[/tex]
si sostituisce [tex]\displaystyle x=y=1[/tex] cosi il risultato è il minimo possibile,cioè [tex]\displaystyle z=2[/tex]
poi si puo dimostrare banalmente con le congruenze e non che x e y sono dispari,ma non lo scrivo per non complicare ancora di piu la dimostrazione
[tex]\displaystyle 1-[/tex] poi si enunciano alcune classi di soluzioni, una consiste nel prendere [tex]\displaystyle x=2^{k}-1, y=1[/tex] e viceversa perche l'equazione è simmetrica rispetto x e y,dunque si va sostituire
[tex]\displaystyle (2^{k}-1+1)(2^{k}-1*1 +1)[/tex]
[tex]\displaystyle (2^{k})(2^{k})=2^{2k}[/tex]
quindi questo vale per ogni [tex]\displaystyle z[/tex] pari
[tex]\displaystyle 2-[/tex] poi si dimostra per [tex]\displaystyle x=2^{k}-1,y=2^{k}+1[/tex]e viceversa, per farlo si va ancora a sostituire
[tex]\displaystyle (2^{k}-1+2^{k}+1) [(2^{k}-1)(2^{k}+1)+1][/tex]
[tex]\displaystyle (2^{k+1})(2^{2k})=2^{3k+1}[/tex]
quindi funziona anche per [tex]\displaystyle z=3k+1[/tex]
ora bisogna dimostrare l'unicita delle soluzioni trovate:
io ho fatto cosi..
[tex]\displaystyle (x+y)(xy+1)=2^{z}[/tex]
sappiamo che [tex]\displaystyle z\ge2[/tex], dunque possiamo dividere per 4 ottenendo sempre un intero e abbiamo
[tex]\displaystyle (\frac{x+y}{2})(\frac{xy+1}{2}=2^{z-2}[/tex]
al minimo [tex]\displaystyle x+y=2[/tex] sostituendo x=y=1,deve essere una potenza di 2 pero
ma [tex]\displaystyle \frac{x+y}{2}[/tex] è la media aritmetica di x e y,oltretutto è intera perche è una potenza di 2
WLOG poniamo [tex]\displaystyle y\ge x[/tex]
quindi [tex]\displaystyle y-u=2^{k},x+u=2^{k}[/tex] dove k è l'esponente di 2 perche avevamo detto che era una potenza di 2 e [tex]\displaystyle u[/tex] è un intero positivo generico
da cui si deduce che [tex]\displaystyle y=2^{k}-u,x=2^{k}+u[/tex]
ora bisogna andare a dimostrare che esistono soluzioni solo nella forma [tex]\displaystyle (2^{k}-u,2^{k}+u)[/tex] e per quali valori di U questo è possibile
dato che l'equazione è simmetrica,WLOG sostituiamo non badando a chi è x e chi è y
[tex]\displaystyle (2^{k}-u+2^{k}+u) [(2^{k}+u)(2^{k}-u)+1][/tex].. si semplifica e si ottiene
[tex]\displaystyle 2^{k+1}(2^{2k}-u^{2}+1)[/tex]
[tex]\displaystyle 2^{k+1}[2^{2k}-(u^{2}-1)][/tex]
[tex]\displaystyle 2^{k+1}[2^{2k}-(u-1)(u+1)][/tex]
ora bisogna capire quando la cosa nelle parentesi quadre è una potenza di 2,sicuramente quando [tex]\displaystyle u=1[/tex],perche sottrae 0,e questo giustifica il punto [tex]\displaystyle 2[/tex]
poi nei casi in cui [tex]\displaystyle u^{2}-1[/tex] non è nullo,cioè quando [tex]\displaystyle u=2^{k}-1[/tex],infatti sostituendo [tex]\displaystyle u[/tex] nell'ultima espressione si ottiene [tex]\displaystyle 2^{k+1}*2^{k+1}[/tex](in realta non so bene come dimostrarlo che si puo fare solo in questo modo,a breve mettero la dimostrazione) e questo dimostra il punto [tex]\displaystyle 1[/tex]
se ho scritto male o non ho specificato qualcosa ditemelo
mi scuso per quanto scrivero,ma non sono riuscito ad accorciare la dimostrazione
numerero alcuni punti perche altrimenti sara difficile richiamarli quando opportuno
intanto dimostriamo che l'equazione [tex]\displaystyle (x+y)(xy+1)=2^{z}[/tex] ha soluzione se e solo se [tex]\displaystyle z\ge2[/tex]
si sostituisce [tex]\displaystyle x=y=1[/tex] cosi il risultato è il minimo possibile,cioè [tex]\displaystyle z=2[/tex]
poi si puo dimostrare banalmente con le congruenze e non che x e y sono dispari,ma non lo scrivo per non complicare ancora di piu la dimostrazione
[tex]\displaystyle 1-[/tex] poi si enunciano alcune classi di soluzioni, una consiste nel prendere [tex]\displaystyle x=2^{k}-1, y=1[/tex] e viceversa perche l'equazione è simmetrica rispetto x e y,dunque si va sostituire
[tex]\displaystyle (2^{k}-1+1)(2^{k}-1*1 +1)[/tex]
[tex]\displaystyle (2^{k})(2^{k})=2^{2k}[/tex]
quindi questo vale per ogni [tex]\displaystyle z[/tex] pari
[tex]\displaystyle 2-[/tex] poi si dimostra per [tex]\displaystyle x=2^{k}-1,y=2^{k}+1[/tex]e viceversa, per farlo si va ancora a sostituire
[tex]\displaystyle (2^{k}-1+2^{k}+1) [(2^{k}-1)(2^{k}+1)+1][/tex]
[tex]\displaystyle (2^{k+1})(2^{2k})=2^{3k+1}[/tex]
quindi funziona anche per [tex]\displaystyle z=3k+1[/tex]
ora bisogna dimostrare l'unicita delle soluzioni trovate:
io ho fatto cosi..
[tex]\displaystyle (x+y)(xy+1)=2^{z}[/tex]
sappiamo che [tex]\displaystyle z\ge2[/tex], dunque possiamo dividere per 4 ottenendo sempre un intero e abbiamo
[tex]\displaystyle (\frac{x+y}{2})(\frac{xy+1}{2}=2^{z-2}[/tex]
al minimo [tex]\displaystyle x+y=2[/tex] sostituendo x=y=1,deve essere una potenza di 2 pero
ma [tex]\displaystyle \frac{x+y}{2}[/tex] è la media aritmetica di x e y,oltretutto è intera perche è una potenza di 2
WLOG poniamo [tex]\displaystyle y\ge x[/tex]
quindi [tex]\displaystyle y-u=2^{k},x+u=2^{k}[/tex] dove k è l'esponente di 2 perche avevamo detto che era una potenza di 2 e [tex]\displaystyle u[/tex] è un intero positivo generico
da cui si deduce che [tex]\displaystyle y=2^{k}-u,x=2^{k}+u[/tex]
ora bisogna andare a dimostrare che esistono soluzioni solo nella forma [tex]\displaystyle (2^{k}-u,2^{k}+u)[/tex] e per quali valori di U questo è possibile
dato che l'equazione è simmetrica,WLOG sostituiamo non badando a chi è x e chi è y
[tex]\displaystyle (2^{k}-u+2^{k}+u) [(2^{k}+u)(2^{k}-u)+1][/tex].. si semplifica e si ottiene
[tex]\displaystyle 2^{k+1}(2^{2k}-u^{2}+1)[/tex]
[tex]\displaystyle 2^{k+1}[2^{2k}-(u^{2}-1)][/tex]
[tex]\displaystyle 2^{k+1}[2^{2k}-(u-1)(u+1)][/tex]
ora bisogna capire quando la cosa nelle parentesi quadre è una potenza di 2,sicuramente quando [tex]\displaystyle u=1[/tex],perche sottrae 0,e questo giustifica il punto [tex]\displaystyle 2[/tex]
poi nei casi in cui [tex]\displaystyle u^{2}-1[/tex] non è nullo,cioè quando [tex]\displaystyle u=2^{k}-1[/tex],infatti sostituendo [tex]\displaystyle u[/tex] nell'ultima espressione si ottiene [tex]\displaystyle 2^{k+1}*2^{k+1}[/tex](in realta non so bene come dimostrarlo che si puo fare solo in questo modo,a breve mettero la dimostrazione) e questo dimostra il punto [tex]\displaystyle 1[/tex]
se ho scritto male o non ho specificato qualcosa ditemelo
Re: Una potenza di 2
A parte che hai invertito i due segni (ma questo non importa molto), quello che hai fatto va bene
Ora però devi risolvere $2^a=2^b-u^2+1$ (oltre alla soluzione $u=1$). Come fai?
Ora però devi risolvere $2^a=2^b-u^2+1$ (oltre alla soluzione $u=1$). Come fai?
Re: Una potenza di 2
sinceramente non ci riesco,sara che sono stanco,o che sara difficile o che magari non lo è
continuo a scomporre cosi [tex]\displaystyle 2^{a}=2^{2k}-(u-1)(u+1)[/tex] e non riesco a togliermi l'idea che [tex]\displaystyle (u-1)(u+1)[/tex] deve essere una potenza di 2,e trovo a ripetizione [tex]\displaystyle u=3[/tex] quando so che la soluzione è generalizzata e che sto sbagliando tutto,non riesco piu a ragionare... per oggi basta matematica
continuo a scomporre cosi [tex]\displaystyle 2^{a}=2^{2k}-(u-1)(u+1)[/tex] e non riesco a togliermi l'idea che [tex]\displaystyle (u-1)(u+1)[/tex] deve essere una potenza di 2,e trovo a ripetizione [tex]\displaystyle u=3[/tex] quando so che la soluzione è generalizzata e che sto sbagliando tutto,non riesco piu a ragionare... per oggi basta matematica