Una potenza di 2

[Livex]

ho la sensazione di aver girato un po intorno al problema,ma ecco quello che ho fatto...
[tex]\displaystyle 2^{a}=2^{2k}-u^{2}+1[/tex]
[tex]\displaystyle u^{2}-1=2^{2k}-2{a}[/tex] ora [tex]2k\ge a[/tex] perchè è tutto positivo, quindi
[tex]\displaystyle (u-1)(u+1)=2^{a}(2^{2k-a}-1)[/tex]
cio significa che [tex]\displaystyle u-1[/tex] divide quell'espressione a destra,cosi come [tex]\displaystyle u+1[/tex]
adesso come vado avanti?non riesco a trovare un metodo e vorrei finire questo problema al piu presto,qualche hint?

[Lasker]

Beh... il problema è già stato discusso sull' Oliforum!
http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f=15&t=17816

[Livex]

Sarà che forse non l'ho capita,ma a me non mi sembra una vera e propria dimostrazione dell'unicita delle soluzioni,mi sembra piu che altro una dimostrazione che valgono le soluzioni [tex](2^{n}-1,2^{n}+1)[/tex],infatti poi non dimostrava il caso con [tex](1,2^{n}-1)[/tex]

[Drago]

Allora, la mia dimostrazione "seria" non considera il caso dove solo uno dei due è 1 (me scemo); ma è banale sostituire $y=1$ e vedere che $(x+1)^2=2^z\rightarrow x=2^\frac z 2-1$
Nella tua invece il caso banale è quello con $u=\pm1$, ovvero il contrario della mia.
Ora, per risolvere la tua, non ne sono sicuro ma penso che dire WLOG $\upsilon_2(u-1)=a-1$ e $\upsilon_2(u+1)=1$ e fare un po' di passaggi dovrebbe essere sufficiente

[Livex]

si,mi pare che tu abbia ragione,evidentemente era sottointeso la frase "eccetto quando uno dei due valori è 1"
comunque io intendevo una cosa del genere "se si è trovato che la dimostrazione non è valida per y=1,puoi dire che vale in tutti gli altri casi,ma chi ti dice che non ci sia un altro valore per cui non vale,in altre parole come sai che non esista un altra soluzione "banale"? "

[Drago]

Semplicemente per il fatto che se $x,y>1$, allora $xy+1>x+y$ e la dimostrazione funziona
O hai qualche altro dubbio?

[Livex]

si,l'avevo capito dove era il mio errore,e poi ho scritto la motivazione per la quale non ero convinto,infatti ho scritto "intendevo"