Soluzioni intere di 9x^2 - 4y^4 = z^5

[ngshya]

Trovare tutte le soluzioni intere di [tex]\displaystyle 9x^2 - 4 y^4 = z^5[/tex]

[tasmaal]

[tex](3x-2y)(3x+2y)=z^5[/tex] quindi so che [tex]3x-2y=z^k[/tex] dove k è compreso tra 0 e 5; di conseguenza [tex]3x+2y=z^{5-k}[/tex]...purtroppo ho qualche idea per andare avanti ma mi sembrano troppo calcolose...

[Drago]

Alt, alt, alt!
Intanto la scomposizione è sbagliata (la $y$ va al quadrato, dato che in origine è alla quarta)
Poi, cosa più importante, non puoi dedurre quello che hai dedotto: vale solo per $z$ primo!
Esempio: $12\cdot18=6^3$ ma nè $12$ nè $18$ sono potenze di $6$

Ora, vorrei avere qualche hint anch'io, dato che per ogni caso che provo a fare mi vengono fuori classi infinite di soluzioni...

[ngshya]

Ahah, non so la soluzione neanch'io.

[Drago]

Non vale!!!

Boh, vedrò se riesco a cavarci qualcosa...

[Lasker]

Secondo voi è una buona idea analizzare tutto modulo 5?Grazie a questo accorgimento sparisce un esponente
[tex]4x^2-4y^4 \equiv z \mod{5}[/tex]
[tex](x+y^2)(x-y^2) \equiv 4z \mod{5}[/tex]
E ora non so più che pesci prendere...

[Francutio]

A parte tutto, come hai spostato quel 4?

[enigma]

Trovare tutte le soluzioni intere di [tex]\displaystyle 9x^2 - 4 y^4 = z^5[/tex]

Poniamo $x= \alpha z$ e $y=\beta z$ con $\alpha, \beta \in \mathbb Q$: l'equazione diventa $9 \alpha ^2=z^3+4 \beta ^4 z^2$. La cosa bella di questa curva è che è singolare, dunque possiamo trovarne tutti i punti razionali col solito metodo. Posto $\alpha =m z$ per $m \in \mathbb Q$, abbiamo $z=9m^2-4 \beta^4$. Questa è la parametrizzazione più generale, fornisce tutte le soluzioni su $\mathbb Q$, e per il caso speciale del problema dà valori interi precisamente quando la forma quadratica in $m$ e $\beta$ è anch'essa intera (a questo punto, se si vuole essere ancora più espliciti, non è difficile esaminare i primi che dividono i denominatori per vedere quando è intera e quando no).
In particolare, volendo, se sia $m$ che $\beta$ sono interi troviamo infinite soluzioni intere, ad esempio per $\beta=2$ abbiamo $(m(9m^2-64)^2, 2(9m^2-64), 9m^2-64)$-ma non le troviamo tutte, come mostra l'esempio $m=\frac 7 6$, $\beta=\frac 1 2$.

[Lasker]

L'inverso moltiplicativo di 4 modulo cinque è quattro, quindi ho moltiplicato entrambi i membri per 4

[Francutio]

L'inverso moltiplicativo di 4 modulo cinque è quattro, quindi ho moltiplicato entrambi i membri per 4

Ah certo, scusate se ogni tanto chiedo delle ovvietà ma sono tardo