Tre interi positivi

[lucaboss98]

Poniamo $ n_1=k, m_1=b $
Abbiamo $5^{2k}=3^{2b}+(2a)^2 $
Quindi $5^k, 3^b, 2a $ è una terna pitagorica
Tutte le terne pitagoriche primitive, come questa perchè (5, 3)=1, si possono esprimere come
$2xy, x^2-y^2, x^2+y^2 $
Ovviamente sará $2xy=2a $
Segue quello che ho detto

Scusa per la poca chiarezza

Ok, alternativamente:
Voglio dimostrare che [tex]5^{2k} – 3^{2b} \equiv 0 \mod8[/tex]
Tutti le potenze pari di [tex]5[/tex] divise per [tex]8[/tex] danno [tex]1[/tex] come resto (quelle dispari [tex]5[/tex] ) .
Tutte le potenze pari di [tex]3[/tex] divise per [tex]8[/tex] danno [tex]1[/tex] come resto (quelle dispari [tex]3[/tex] ) .
Quindi [tex]1–1 \equiv 0 \mod 8[/tex]
Allora [tex]8| (5^{2k} – 3^{2b})[/tex] . Quindi [tex]8| a^2[/tex].
Per quanto detto in teoria [tex]16| a^2[/tex] , allora [tex]4| a[/tex] .
Ora [tex]a= 4x[/tex].
Allora [tex](3^{b})^2 + (4x)^2 = (5^{k})^2[/tex] . Avete presente la terna pitagorica [tex](3,4,5)[/tex] ? Bene, sapete che una terna può essere modificata (tipo passare a [tex](6,8,10)[/tex] ) solo moltiplicando per uno stesso numero?
Quindi [tex]3^{b} = 3 \cdot 3^{b–1}[/tex] . [tex]5^k = 5 \cdot 5^{k–1}[/tex].
Per quanto detto prima bisogna avere che [tex]3^{b–1} = 5^{k–1}[/tex] . Quindi ovviamente si può avere solo se [tex]b=k=1[/tex] . Analogamente ci si trova [tex]x=1[/tex]
Allora [tex]m=2[/tex] , [tex]n=2[/tex] e [tex]a=4[/tex] .

[lucaboss98]

A questo punto metto anche la mia

$5^n-3^m=a^2$

$n$ è pari : se non lo fosse cascherebbe $\mod3$ , infatti sarebbe $a^2 \equiv -1$ che è impossibile.

$m$ è pari : consideriamo $\mod4$ : $(1)^n - (-1)^m \equiv a^2$ . Se $m$ fosse dispari , $a^2$ sarebbe $\equiv2$ , ma ciò non è possibile quindi $m$ è dispari e $4|a^2$.

Quindi possiamo scrivere $n=2x,m=2y$.
Perciò manipolando abbiamo
$(5^x - a)(5^x+a)=3^{2y}$

Da cui arriviamo al sistema

$\begin{cases} 5^x-a=3^t \\ 5^x+a = 3^l \\ t+l =2y \end{cases}$

Sommando le due prime equazioni si arriva a
$2\cdot5^x = 3^t + 3^l$

Ma $3\nmid LHS$ , ne consegue che $t=0$ e $l=2y$.

Abbiamo quindi $2\cdot5^x=9^y+1$.
Applichiamo quindi LTE :
$v_5(2\cdot5^x)=v_5(9^y+1^y)\\
x = v_5(10) + v_5(y)\\
x = 1 + v_5(y)$

Sostituiamo nella formula prima (questo passaggio penso si possa fare, ma non sono completamente certo)
$2\cdot5^{1 + v_5(y)}-1=9^y\\
10y-1=9^y$

Che ha come soluzione intera $y=1$ , da cui deriva $m=2,n=2,a=4$

Scusami, ma non sono in grado di verificare la parte finale, aspetto qualcuno di più bravo...

[nil]

A questo punto metto anche la mia

Sostituiamo nella formula prima (questo passaggio penso si possa fare, ma non sono completamente certo)
$2\cdot5^{1 + v_5(y)}-1=9^y\\
10y-1=9^y$

Che ha come soluzione intera $y=1$ , da cui deriva $m=2,n=2,a=4$

Non è $10y-1=9^y$ ma $10y-1\ge9^y$ , che porta comunque alle stesse conclusioni

[aetwaf]

Avete presente la terna pitagorica [tex](3,4,5)[/tex] ? Bene, sapete che una terna può essere modificata (tipo passare a [tex](6,8,10)[/tex] ) solo moltiplicando per uno stesso numero?
Quindi [tex]3^{b} = 3 \cdot 3^{b–1}[/tex] . [tex]5^k = 5 \cdot 5^{k–1}[/tex].
Per quanto detto prima bisogna avere che [tex]3^{b–1} = 5^{k–1}[/tex]

Chiarisci questo passaggio
Cioè, non tutte le terne pitagoriche sono generate da $3,4,5$ e dovresti dimostrare che se i termini di una terna pitagorica sono multipli rispettivamente di $3,4,5$ allora derivano da quella terna per poter fare quel passaggio
Controesempio $(33,56,65)$ è una terna primitiva e le divisibilità corrispondono, ma non è generata da $(3,4,5)$ come non è generata da nessun'altra terna

L'altra soluzione, quella con $LTE$, mi pare corretta ora

[lucaboss98]

Avete presente la terna pitagorica [tex](3,4,5)[/tex] ? Bene, sapete che una terna può essere modificata (tipo passare a [tex](6,8,10)[/tex] ) solo moltiplicando per uno stesso numero?
Quindi [tex]3^{b} = 3 \cdot 3^{b–1}[/tex] . [tex]5^k = 5 \cdot 5^{k–1}[/tex].
Per quanto detto prima bisogna avere che [tex]3^{b–1} = 5^{k–1}[/tex]

Chiarisci questo passaggio
Cioè, non tutte le terne pitagoriche sono generate da $3,4,5$ e dovresti dimostrare che se i termini di una terna pitagorica sono multipli rispettivamente di $3,4,5$ allora derivano da quella terna per poter fare quel passaggio
Controesempio $(33,56,65)$ è una terna primitiva e le divisibilità corrispondono, ma non è generata da $(3,4,5)$ come non è generata da nessun'altra terna

L'altra soluzione, quella con $LTE$, mi pare corretta ora

No, non tutte le terne sono generate da [tex]3,4,5[/tex] , non intendevo questo, ma mi sono sbagliato...
Comunque , io mi ero anche affidato al fatto che due dei tre erano potenze...

[aetwaf]

In ogni caso nella terna che ti ho detto abbiamo un elemento che è $3\cdotp 11 $ e uno che è $5\cdotp 13 $
$11\ne 13 $ ma quella resta una terna pitagorica
Se sfrutti il fatto che sono potenze devi giustificarlo e dire perchè possibile, se è possibile farlo
Oppure sono io che non capisco quel passaggio, può essere

[lucaboss98]

In ogni caso nella terna che ti ho detto abbiamo un elemento che è $3\cdotp 11 $ e uno che è $5\cdotp 13 $
$11\ne 13 $ ma quella resta una terna pitagorica
Se sfrutti il fatto che sono potenze devi giustificarlo e dire perchè possibile, se è possibile farlo
Oppure sono io che non capisco quel passaggio, può essere

no, sono io che ho sbagliato...

[Salvador]

Ma come funziona LTE?

[Salvador]

Provo a mettere la mia soluzione
Dopo aver visto che m ed n sono pari e dunque aver posto $m=2m'$ e $n=2n'$ e la scomposizione come terna pitagorica $5^{m'}=x^2+y^2$, $3^{n'}=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ e aver risolto ottenendo $x=y+1$, si ha che ovviamente uno solo tra x e y è dispari. Supponiamo che sia y. Il quadrato di un numero dispari è sempre congruo a 1 modulo 8 ($(2n+1)^2=4n^2+4n+1=8\dfrac{n(n+1)}{2}+1$), mentre se $x=2$ allora $x^2 \equiv 4 \pmod{8}$, mentre se $x>2$ allora $x^2 \equiv 0 \pmod{8}$: nel primo caso si ha $x^2-y^2=3=3^1$, dunque $n'=1$ e $x^2+y^2=5=5^1$, dunque $m'=1$ e ciò porta a $m=n=2$, $a=4$; nel secondo caso si ha $x^2-y^2 \equiv 7 \pmod{8}$, impossibile perché $3^k \equiv 1 | 3 \pmod{8}$. Ora supponiamo che x sia dispari: se $y=2$ si ottiene $x^2-y^2=5$, impossibile, dunque $y>2$, dunque $3^{n'} \equiv x^2-y^2 \equiv 1-0 \equiv 1 \pmod{8}$ e dunque n' è pari. Ma sottraendo le due equazioni $5^{m'}=x^2+y^2$ e $3^{n'}=x^2-y^2$ si ha $5^{m'}-3^{n'}=2y^2$, che in modulo 5 diventa, poiché $m'>0$: $(-2)^{n'} \equiv \pm 2 \pmod{5}$, che implica n' dispari, contraddizione! Pertanto l'unica soluzione è m=2, n=2, a=4.