Sono primi?

[Drago]

• Determinare i valori di $n\in\mathbb N$ tali che $n^4+4^n$ sia un primo
• Determinare i valori di $n\in\mathbb N$ tali che $n^4+4$ sia un primo
• Determinare i valori di $a,b\in\mathbb Z$ tali che $a^4+4b^4+12ab-9$ sia un primo

[Lasker]

Faccio il secondo punto, che mi sembra il più facile (domani, forse, tenterò con gli altri)
Scrivo :
[tex]n^4+4=p[/tex]
[tex]n^4+4+4n^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2)^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2n+2)(n^2-2n+2)=p[/tex]

[tex]n^2-2n+2= 1[/tex]
[tex]n^2+2n+2= p[/tex]

n={1}
p={5}

[Livex]

per il secondo punto..
per determinare tali valori,conviene trovare i vari valori n tale che il risultante non è primo
banale considerazione è che n deve essere dispari infatti se fosse pari anche il risultato è pari e quindi non è primo perche il risultato sostituendo 0 si ottiene il minimo(che è 4)di conseguenza n è dispari
a questo punto conviene considerare i residui quadrati modulo 5,essi dicono che [tex]n^{2}\equiv 1,-1,0\pmod{5}[/tex]ma [tex]n^{4}[/tex] è il quadrato di [tex]n^{2}[/tex]e quindi [tex]n^{4}[/tex] puo essere solamente [tex]0,1[/tex] modulo 5,ma attenzione se fosse 1 significa che il risultato è divisibile per 5
e in questo caso vale solo n=1 perche cosi verrebbe 5,che è l'unico primo divisibile per 5
ora per dimostrare che non puo essere congruo a 0 mod 5 si fa cosi...
[tex]n^{4}+4\equiv 0\pmod{5}[/tex] poi [tex]n^{4}-1\equiv 0\pmod{5}[/tex] infine [tex]n^{4}\equiv 1\pmod{5}[/tex]
quindi come detto in precedenza n=1

[Livex]

per il primo punto..
n è dispari come detto prima,ed [tex]n^{4}[/tex] puo essere congruo solo [tex]0,1[/tex] modulo 5
[tex]n^{4}+4^{n}\equiv 0\pmod{5}[/tex] si puo sostituire con [tex]n^{4}+(-1)^{n}\equiv 0\pmod{5}[/tex]ma n è dispari,possiamo quindi riscrivere come [tex]n^{4}-1\equiv 0\pmod{5}[/tex] poi avevamo detto sopra che [tex]n^{4}[/tex] era congruo ad 1 mod 5,e si ricava la stessa cosa di prima,cioè che n=1 perche in tutti gli altri casi non è primo in quanto è divisibile per 5

EDIT:mi sono accorto ora di un bruttissimo errore, per entrambe le dimostrazioni devo dimostrare che [tex]n^{4}[/tex]non puo essere congruo a 0

[afullo]

Faccio il secondo punto, che mi sembra il più facile (domani, forse, tenterò con gli altri)
Scrivo :
[tex]n^4+4=p[/tex]
[tex]n^4+4+4n^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2)^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2n+2)(n^2-2n+2)=p[/tex]

[tex]n^2-2n+2= 1[/tex]
[tex]n^2+2n+2= p[/tex]

n={1}
p={5}

Sophie Germain.

[Drago]

Bene Lasker
E afu ha spoilerato l'argomento portante del topic... (più o meno)

[Livex]

E afu ha spoilerato l'argomento portante del topic... (più o meno)

mi pare quindi di capire che con le congruenze non si puo fare?o se si puo fare è parecchio difficile(o quantomeno per me)?

[Lasker]

Illuminazione sul terzo!
Aggiungo e tolgo [tex]4a^2b^2[/tex]
L'equazione diventa:
[tex]a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2+12ab-9=p[/tex]
[tex](a^2+2b^2)^2-(2ab-3)^2=p[/tex]
[tex](a^2+2ab-3+2b^2)(a^2-2ab+3+2b^2)=p[/tex]

[tex](a^2+2ab-3+2b^2)=1[/tex]
[tex]a^2+2ab+2b^2-4=0[/tex]
[tex](a+b)^2+b^2=4[/tex]
Visto che non esistono terne pitagoriche con ipotenusa 2, ne deduco che qui ci sono solo le soluzioni banali
a=2 b=0
a=-2 b=2
a=2 b=-2
In cui uno dei due termini al quadrato è uguale a 0

vediamo se portano numeri primi se sostituite nell'altra...
(4+3)=7 si
(4+8+3+4)=19 si
l'ultima è simmetrica a questa

Ora proviamo con
[tex](a^2-2ab+3+2b^2)=1[/tex]
otteniamo un ragionamento analogo con
[tex](a-b)^2+b^2=-2[/tex]
Ovviamente impossibile in quanto il membro di sinistra è sempre positivo, mentre quello di destra negativo!
Dunque le uniche soluzioni dovrebbero essere
a=2 b=0 p=7
a=-2 b=2 p=19
a=2 b=-2 p=19

Funziona?

[Lasker]

Credo che al posto del 19 ci vada un 23, sono proprio sbadato
Scusate, ma perché riesco a modificare i messaggi solo per breve tempo?Questa cosa mi farà impazzire