- Determinare i valori di $n\in\mathbb N$ tali che $n^4+4^n$ sia un primo
- Determinare i valori di $n\in\mathbb N$ tali che $n^4+4$ sia un primo
- Determinare i valori di $a,b\in\mathbb Z$ tali che $a^4+4b^4+12ab-9$ sia un primo
Sono primi?
Sono primi?
Re: Sono primi?
Faccio il secondo punto, che mi sembra il più facile (domani, forse, tenterò con gli altri)
Scrivo :
[tex]n^4+4=p[/tex]
[tex]n^4+4+4n^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2)^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2n+2)(n^2-2n+2)=p[/tex]
[tex]n^2-2n+2= 1[/tex]
[tex]n^2+2n+2= p[/tex]
n={1}
p={5}
Scrivo :
[tex]n^4+4=p[/tex]
[tex]n^4+4+4n^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2)^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2n+2)(n^2-2n+2)=p[/tex]
[tex]n^2-2n+2= 1[/tex]
[tex]n^2+2n+2= p[/tex]
n={1}
p={5}
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
Re: Sono primi?
per il secondo punto..
per determinare tali valori,conviene trovare i vari valori n tale che il risultante non è primo
banale considerazione è che n deve essere dispari infatti se fosse pari anche il risultato è pari e quindi non è primo perche il risultato sostituendo 0 si ottiene il minimo(che è 4)di conseguenza n è dispari
a questo punto conviene considerare i residui quadrati modulo 5,essi dicono che [tex]n^{2}\equiv 1,-1,0\pmod{5}[/tex]ma [tex]n^{4}[/tex] è il quadrato di [tex]n^{2}[/tex]e quindi [tex]n^{4}[/tex] puo essere solamente [tex]0,1[/tex] modulo 5,ma attenzione se fosse 1 significa che il risultato è divisibile per 5
e in questo caso vale solo n=1 perche cosi verrebbe 5,che è l'unico primo divisibile per 5
ora per dimostrare che non puo essere congruo a 0 mod 5 si fa cosi...
[tex]n^{4}+4\equiv 0\pmod{5}[/tex] poi [tex]n^{4}-1\equiv 0\pmod{5}[/tex] infine [tex]n^{4}\equiv 1\pmod{5}[/tex]
quindi come detto in precedenza n=1
per determinare tali valori,conviene trovare i vari valori n tale che il risultante non è primo
banale considerazione è che n deve essere dispari infatti se fosse pari anche il risultato è pari e quindi non è primo perche il risultato sostituendo 0 si ottiene il minimo(che è 4)di conseguenza n è dispari
a questo punto conviene considerare i residui quadrati modulo 5,essi dicono che [tex]n^{2}\equiv 1,-1,0\pmod{5}[/tex]ma [tex]n^{4}[/tex] è il quadrato di [tex]n^{2}[/tex]e quindi [tex]n^{4}[/tex] puo essere solamente [tex]0,1[/tex] modulo 5,ma attenzione se fosse 1 significa che il risultato è divisibile per 5
e in questo caso vale solo n=1 perche cosi verrebbe 5,che è l'unico primo divisibile per 5
ora per dimostrare che non puo essere congruo a 0 mod 5 si fa cosi...
[tex]n^{4}+4\equiv 0\pmod{5}[/tex] poi [tex]n^{4}-1\equiv 0\pmod{5}[/tex] infine [tex]n^{4}\equiv 1\pmod{5}[/tex]
quindi come detto in precedenza n=1
Re: Sono primi?
per il primo punto..
n è dispari come detto prima,ed [tex]n^{4}[/tex] puo essere congruo solo [tex]0,1[/tex] modulo 5
[tex]n^{4}+4^{n}\equiv 0\pmod{5}[/tex] si puo sostituire con [tex]n^{4}+(-1)^{n}\equiv 0\pmod{5}[/tex]ma n è dispari,possiamo quindi riscrivere come [tex]n^{4}-1\equiv 0\pmod{5}[/tex] poi avevamo detto sopra che [tex]n^{4}[/tex] era congruo ad 1 mod 5,e si ricava la stessa cosa di prima,cioè che n=1 perche in tutti gli altri casi non è primo in quanto è divisibile per 5
EDIT:mi sono accorto ora di un bruttissimo errore, per entrambe le dimostrazioni devo dimostrare che [tex]n^{4}[/tex]non puo essere congruo a 0
n è dispari come detto prima,ed [tex]n^{4}[/tex] puo essere congruo solo [tex]0,1[/tex] modulo 5
[tex]n^{4}+4^{n}\equiv 0\pmod{5}[/tex] si puo sostituire con [tex]n^{4}+(-1)^{n}\equiv 0\pmod{5}[/tex]ma n è dispari,possiamo quindi riscrivere come [tex]n^{4}-1\equiv 0\pmod{5}[/tex] poi avevamo detto sopra che [tex]n^{4}[/tex] era congruo ad 1 mod 5,e si ricava la stessa cosa di prima,cioè che n=1 perche in tutti gli altri casi non è primo in quanto è divisibile per 5
EDIT:mi sono accorto ora di un bruttissimo errore, per entrambe le dimostrazioni devo dimostrare che [tex]n^{4}[/tex]non puo essere congruo a 0
Re: Sono primi?
Sophie Germain.Lasker ha scritto:Faccio il secondo punto, che mi sembra il più facile (domani, forse, tenterò con gli altri)
Scrivo :
[tex]n^4+4=p[/tex]
[tex]n^4+4+4n^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2)^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2n+2)(n^2-2n+2)=p[/tex]
[tex]n^2-2n+2= 1[/tex]
[tex]n^2+2n+2= p[/tex]
n={1}
p={5}
Re: Sono primi?
Bene Lasker
E afu ha spoilerato l'argomento portante del topic... (più o meno)
E afu ha spoilerato l'argomento portante del topic... (più o meno)
Re: Sono primi?
mi pare quindi di capire che con le congruenze non si puo fare?o se si puo fare è parecchio difficile(o quantomeno per me)?Drago ha scritto: E afu ha spoilerato l'argomento portante del topic... (più o meno)
Re: Sono primi?
Illuminazione sul terzo!
Aggiungo e tolgo [tex]4a^2b^2[/tex]
L'equazione diventa:
[tex]a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2+12ab-9=p[/tex]
[tex](a^2+2b^2)^2-(2ab-3)^2=p[/tex]
[tex](a^2+2ab-3+2b^2)(a^2-2ab+3+2b^2)=p[/tex]
[tex](a^2+2ab-3+2b^2)=1[/tex]
[tex]a^2+2ab+2b^2-4=0[/tex]
[tex](a+b)^2+b^2=4[/tex]
Visto che non esistono terne pitagoriche con ipotenusa 2, ne deduco che qui ci sono solo le soluzioni banali
a=2 b=0
a=-2 b=2
a=2 b=-2
In cui uno dei due termini al quadrato è uguale a 0
vediamo se portano numeri primi se sostituite nell'altra...
(4+3)=7 si
(4+8+3+4)=19 si
l'ultima è simmetrica a questa
Ora proviamo con
[tex](a^2-2ab+3+2b^2)=1[/tex]
otteniamo un ragionamento analogo con
[tex](a-b)^2+b^2=-2[/tex]
Ovviamente impossibile in quanto il membro di sinistra è sempre positivo, mentre quello di destra negativo!
Dunque le uniche soluzioni dovrebbero essere
a=2 b=0 p=7
a=-2 b=2 p=19
a=2 b=-2 p=19
Funziona?
Aggiungo e tolgo [tex]4a^2b^2[/tex]
L'equazione diventa:
[tex]a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2+12ab-9=p[/tex]
[tex](a^2+2b^2)^2-(2ab-3)^2=p[/tex]
[tex](a^2+2ab-3+2b^2)(a^2-2ab+3+2b^2)=p[/tex]
[tex](a^2+2ab-3+2b^2)=1[/tex]
[tex]a^2+2ab+2b^2-4=0[/tex]
[tex](a+b)^2+b^2=4[/tex]
Visto che non esistono terne pitagoriche con ipotenusa 2, ne deduco che qui ci sono solo le soluzioni banali
a=2 b=0
a=-2 b=2
a=2 b=-2
In cui uno dei due termini al quadrato è uguale a 0
vediamo se portano numeri primi se sostituite nell'altra...
(4+3)=7 si
(4+8+3+4)=19 si
l'ultima è simmetrica a questa
Ora proviamo con
[tex](a^2-2ab+3+2b^2)=1[/tex]
otteniamo un ragionamento analogo con
[tex](a-b)^2+b^2=-2[/tex]
Ovviamente impossibile in quanto il membro di sinistra è sempre positivo, mentre quello di destra negativo!
Dunque le uniche soluzioni dovrebbero essere
a=2 b=0 p=7
a=-2 b=2 p=19
a=2 b=-2 p=19
Funziona?
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
Re: Sono primi?
Credo che al posto del 19 ci vada un 23, sono proprio sbadato
Scusate, ma perché riesco a modificare i messaggi solo per breve tempo?Questa cosa mi farà impazzire
Scusate, ma perché riesco a modificare i messaggi solo per breve tempo?Questa cosa mi farà impazzire
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI