Somme e cubi

[Drago]

Trovare tutti gli interi $x,y,z$ tali che \[ x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3 \]

[Lasker]

[tex]\displaystyle (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3[/tex]

[tex]\displaystyle (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=0[/tex]

[tex]\displaystyle x^3+y^3+z^3+3(x^2y+y^2x+x^2z+z^2x+y^2z+z^2y+2xyz)-x^3-y^3-z^3=0[/tex]

[tex]x^2y+y^2x+x^2z+z^2x+y^2z+z^2y+2xyz=0[/tex]

Molto simmetrico...

[tex]x^2y+y^2x+x^2z+z^2x+y^2z+z^2y+xyz+xyz=0[/tex]

Raccolgo x nei monomi con x^2, y in xy^2 e uno dei due xyz, z nei rimanenti

[tex]x(xy+xz)+y(xy+xz)+z(y^2+xz+yz+xy)=0[/tex]

[tex]x(x+y)(y+z)+z(x+y)(y+z)=0[/tex]

[tex](x+y)(y+z)(x+z)=0[/tex]

Per la legge di annullamento del prodotto, dunque, le soluzioni sono tutte e sole:

[tex]x=-y \longrightarrow \forall (x,y,z) \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]y=-z \longrightarrow \forall (x,y,z) \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]x=-z \longrightarrow \forall (x,y,z) \in \mathbb{N}[/tex]

[Lasker]

Uff... quando ho scritto [tex]\mathbb{N}[/tex] intendevo ovviamente [tex]\mathbb{Z}[/tex]...
Mai una volta che non debba fare correzioni posticce