Somme e cubi
Somme e cubi
Trovare tutti gli interi $x,y,z$ tali che \[ x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3 \]
Re: Somme e cubi
[tex]\displaystyle (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3[/tex]
[tex]\displaystyle (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=0[/tex]
[tex]\displaystyle x^3+y^3+z^3+3(x^2y+y^2x+x^2z+z^2x+y^2z+z^2y+2xyz)-x^3-y^3-z^3=0[/tex]
[tex]x^2y+y^2x+x^2z+z^2x+y^2z+z^2y+2xyz=0[/tex]
Molto simmetrico...
[tex]x^2y+y^2x+x^2z+z^2x+y^2z+z^2y+xyz+xyz=0[/tex]
Raccolgo x nei monomi con x^2, y in xy^2 e uno dei due xyz, z nei rimanenti
[tex]x(xy+xz)+y(xy+xz)+z(y^2+xz+yz+xy)=0[/tex]
[tex]x(x+y)(y+z)+z(x+y)(y+z)=0[/tex]
[tex](x+y)(y+z)(x+z)=0[/tex]
Per la legge di annullamento del prodotto, dunque, le soluzioni sono tutte e sole:
[tex]x=-y \longrightarrow \forall (x,y,z) \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]y=-z \longrightarrow \forall (x,y,z) \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]x=-z \longrightarrow \forall (x,y,z) \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]\displaystyle (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=0[/tex]
[tex]\displaystyle x^3+y^3+z^3+3(x^2y+y^2x+x^2z+z^2x+y^2z+z^2y+2xyz)-x^3-y^3-z^3=0[/tex]
[tex]x^2y+y^2x+x^2z+z^2x+y^2z+z^2y+2xyz=0[/tex]
Molto simmetrico...
[tex]x^2y+y^2x+x^2z+z^2x+y^2z+z^2y+xyz+xyz=0[/tex]
Raccolgo x nei monomi con x^2, y in xy^2 e uno dei due xyz, z nei rimanenti
[tex]x(xy+xz)+y(xy+xz)+z(y^2+xz+yz+xy)=0[/tex]
[tex]x(x+y)(y+z)+z(x+y)(y+z)=0[/tex]
[tex](x+y)(y+z)(x+z)=0[/tex]
Per la legge di annullamento del prodotto, dunque, le soluzioni sono tutte e sole:
[tex]x=-y \longrightarrow \forall (x,y,z) \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]y=-z \longrightarrow \forall (x,y,z) \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]x=-z \longrightarrow \forall (x,y,z) \in \mathbb{N}[/tex]
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: Somme e cubi
Uff... quando ho scritto [tex]\mathbb{N}[/tex] intendevo ovviamente [tex]\mathbb{Z}[/tex]...
Mai una volta che non debba fare correzioni posticce
Mai una volta che non debba fare correzioni posticce
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
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