Un conteggio ... aritmetico

[ercolete]

Dire per quanti dei numeri
\[1^2,2^2,\dots,1999^2\]
la cifra delle decine è un numero dispari.

[Lasker]

Credo di avere una risposta, ma non so se la dimostrazione sia corretta...

Vediamo prima di tutto come funziona per i primi 10 quadrati:

[tex]1^2=01 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]2^2=04 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]3^2=09 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]4^2=16 \longrightarrow dispari[/tex]
[tex]5^2=25 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]6^2=36 \longrightarrow dispari[/tex]
[tex]7^2=49 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]8^2=64 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]9^2=81 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]10^2=100 \longrightarrow pari[/tex]

Ma se [tex]n^2[/tex] ha la cifra delle decine pari o dispari, [tex](n\pm 10)^2[/tex] conserva la parità di questa cifra, perché
[tex](n\pm10)^2=n^2\pm20n+100[/tex] , 100 e 20 non influiscono sulla parità (in quanto sono entrambi un numero pari moltiplicato per 10, e [tex]p\pm p=p[/tex] , [tex]p\pm d=d[/tex], [tex]d\pm d=p[/tex] )
Visto che questa è una doppia implicazione, allora i numeri con la cifra delle decine pari sono tutti e soli
[tex]n_1 \equiv 4 \pmod{10}[/tex]
[tex]n_2 \equiv 6 \pmod{10}[/tex]
Di questi ce ne sono due per ogni decina, quindi la risposta dovrebbe essere [tex]\displaystyle \frac {2000}{10}*2=400[/tex]