Frazione irriducibile

[Livex]

è abbastanza conosciuto(e piuttosto semplice) come problema,però è carino per chi non l'avesse mai visto e poi devo sapere se la dimostrazione che ho elaborato è giusta! Dunque...

Dimostare che per tutti gli [tex]n\ge 1[/tex] interi,la frazione [tex]\displaystyle \frac {15n+2}{20n+3}[/tex] è ridotta ai minimi termini

[Lasker]

Immagino che si debba dimostrare che i due numeri sono coprimi $\forall n$ , quindi
$MCD(15n+2,20n+3)=1$
Proviamo a manipolare i due "Polinomi"
$MCD(15n+2,20n+3)=1 \iff MCD(15n+2,5n+1)=1$ In pratica ho applicato l'algoritmo di euclide
Ora, moltiplicando $(5n+1)$ per $3$, otteniamo $(15n+3)$,che è sempre coprimo con $(15n+2)$!
Ma se $3p$ è coprimo con $q$, per forza anche $(p,q)=1$
$CVD$
La tua dimostrazione è come la mia?

[Livex]

Si la mia dimostrazione è molto simile,si basa sul algoritmo di euclide ripetuto....
suppongo che esista un k=MCD tale che [tex]k|15n+2[/tex] e [tex]k|20n+3[/tex]
allora k divide anche la differenza per una questione di moduli,quindi [tex]k|5n+1[/tex],si ripete l'algoritmo..
[tex]k|15n+2-(5n+1)=10n+1[/tex], [tex]k|10n+1-(5n+1)=5n[/tex]
ma se k divide due interi consecutivivi k=1,

per quanto riguarda la tua dimostrazione,mi pare corretta!

[Drago]

Molto simile a questo:
dimostrare che la frazione $\displaystyle\frac{21n+4}{14n+3}$ è irriducibile.

[Livex]

supponiamo [tex]k=MCD(21n+4 , 14n+3)[/tex]
allora [tex]k[/tex] divide la differenza tra i due,quindi [tex]k | 7n+1[/tex]
ma k divide anche la differenza [tex]14n+3-(7n+1)=7n+2[/tex],ma attenzione,se [tex]k | 7n+1[/tex] e [tex]k | 7n+2[/tex], [tex]k=1[/tex]
visto che ci siamo diciamo anche perche il MCD divide la differenza tra due interi...
chiamiamo a e b questi interi,si ha quindi che
[tex]a \equiv b \pmod{MCD}[/tex]
[tex]a-b \equiv 0 \pmod{MCD}[/tex]
Ma [tex]a,b[/tex] sono divisibili per il loro MCD
[tex]0-0 \equiv 0 \pmod{MCD}[/tex]
come si vede la differenza anche è divisibile,di conseguenza possiamo ripetere il ragionamento all'infinito,questa la dimostrazione dell'algoritmo di euclide esteso..

[Drago]

Uhm, non ho ben capito cosa hai fatto...
Basta dire che $k=(a,b)\implies a=ka',b=kb'$ e quindi ogni loro combinazione lineare ha un fattore $k$, ovvero è divisibile per il MCD (probabilmente è quello che tu hai scritto in congruenze...)
Cosa carina: era l'IMO1 del 1959

[Livex]

Uhm, non ho ben capito cosa hai fatto...
Basta dire che $k=(a,b)\implies a=ka',b=kb'$ e quindi ogni loro combinazione lineare ha un fattore $k$, ovvero è divisibile per il MCD (probabilmente è quello che tu hai scritto in congruenze...)

è normalissimo che tu non abbia capito,di solito riesco a dire in maniera incasinata anche le cose piu semplici,cosa che purtroppo mi è costata molti punti a febbraio,anche se non sarei passato lo stesso sia chiaro...
comunque si, ho detto che se [tex]a,b[/tex] sono congrui a 0 modulo il MCD,allora la loro differenza è congrua a 0

Cosa carina: era l'IMO1 del 1959

Davvero ho risolto un IMO

[Drago]

Cosa carina: era l'IMO1 del 1959

Davvero ho risolto un IMO

Sì, la prima edizione delle IMO! I primi anni erano piuttosto facili, poi sono diventati sempre più difficili...

[Livex]

Cosa carina: era l'IMO1 del 1959

Davvero ho risolto un IMO

Sì, la prima edizione delle IMO! I primi anni erano piuttosto facili, poi sono diventati sempre più difficili...

Già,me ne sono accorto qualche giorno fa quando ho provato a risolvere le IMO2008....Un disastro!