cesenatico 2011 es. 5

[maximo]

Determinare tutte le soluzioni (p, n) dell’equazione
n^3 = p^2 − p − 1
dove p è un numero primo e n è un numero intero.
Potete spiegarmi la soluzione, perché quella delle soluzioni ufficiali non mi sembra chiara

[aetwaf]

Se non ho sbagliato niente le uniche soluzioni dovrebbero essere
$(2,1),(37,11)$

Testo nascosto:

Per prima cosa osserviamo che
$n>0$
E
$p^2-p-1-n^3=0$
$p^2>n^3$
$p>n$
Non miglioriamo questa disuguaglianza tanto ci ridurrebbe solo un paio di controlli

$p(p-1)=(n+1)(n^2-n+1)$
Ora, $p\ge n+1$
Proviamo $p=n+1$
Otteniamo
$n=n^2-n+1$
$(n-1)^2=0$
$n=1$
Da cui una soluzione, $p=2,n=1$

Supponiamo ora $p>n+1$
Deve essere $p\mid n^2-n+1$, infatti se $p>n+1$ allora $gcd(p,n+1)=1$
$n^2-n+1=kp$
$k>0$
Ma allora
$p-1=k(n+1)$
$p=k(n+1)+1$
Da cui
$kn+k+1\mid n^2-n+1$
Senza aumentare le soluzioni, essendo $gcd(kn+k+1,k)=1$, possiamo dire
$kn+k+1\mid k(n^2-n+1)$
Ma allora
$kn+k+1\mid kn^2-kn+k-n(kn+k+1)=-2kn-n+k$
$kn+k+1\mid 2kn+n-k$
Analogamente a prima
$kn+k+1\mid 2kn+n-k-2(kn+k+1)$
$kn+k+1\mid n-3k-2$

Ora, osserviamo che per $n\ge 2$ abbiamo
$kn+k+1>\vert n-3k-2\vert $
Quindi proviamo $n=1$
$2k+1\mid 3k+2$
$k=0,-1$ assurdo

Quindi deve essere $n-3k-2=0$
$n=3k+2$
$k=\frac {n-2} 3$
Sostituendo nelle equazioni iniziali otteniamo
$p=\frac {(n+1)(n-2)} 3+1$
$n^2-n+1=\frac {(n+1)(n-2)^2} 9+\frac {n-2} 3$
$n^3-12n^2+12n-11=0$
$(n-11)(n^2-n+1)=0$
$n=11$
$p=37$

Ho corretto

[maximo]

c è anche la soluzione (37,11)

[mr96]

Determinare tutte le soluzioni (p, n) dell’equazione
n^3 = p^2 − p − 1
dove p è un numero primo e n è un numero intero.
Potete spiegarmi la soluzione, perché quella delle soluzioni ufficiali non mi sembra chiara

Scomponiamo come [tex](n+1)(n^2-n+1)=p(p-1)[/tex], da qua o [tex]p|n+1[/tex] o [tex]p|n^2-n+1[/tex].

Nel primo caso abbiamo di sicuro [tex]n+1 \geq p[/tex] con uguaglianza se [tex]n=p-1[/tex] da cui [tex]n(n+1) \geq (n+1)(n^2-n+1)[/tex] e quindi [tex]2n \geq n^2+1[/tex], quindi [tex]2 \geq n[/tex]. Provi a mano i casi [tex]n=1,n=2[/tex] e trovi la prima soluzione [tex](p,n) = (2,1)[/tex].

Nel secondo caso [tex]n^2-n+1 = kp[/tex] o [tex]p-1=k(n+1)[/tex] sostituisci la seconda nella prima e ottieni [tex]n^2-n+1-k^2n-k^2-k=0[/tex]

[tex]\Delta=k^4+6k^2+4k-3=m^2[/tex] noti che [tex]k=3[/tex] nel caso [tex]m^2=(k^2+3)^2[/tex]. Provi a mano i casi sostituendo di sopra e dovresti trovare [tex](p,n)=(37,11)[/tex]

[aetwaf]

Errore trovato l'ho corretto