Conoscendo le formule delle serie questo problema è veramente semplice...
[tex]1+x+x^2+x^3.....+x^{p-1}=1+x+x^2+x^3....+x^{p-1}[/tex]
[tex](1-x)(1+x+x^2+x^3.....+x^{p-1})=(1-x)(1+x+x^2+x^3.....+x^{p-1})[/tex]
[tex](1-x)(1+x+x^2+x^3.....+x^{p-1})=1-x^p[/tex]
[tex]\displaystyle 1+x+x^2+x^3....+x^{p-1}=\frac{1-x^p}{1-x}[/tex]
ora si deve dimostrare che [tex]\displaystyle \frac{1-x^p}{1-x} \cdot P(x)=x^{k_0p}+x^{k_1p}....+x^{k_{p-1}p+p-1}[/tex] moltiplicando entrambi i membri per [tex]1-x[/tex] si ottiene [tex](1-x^p) \cdot P(x)=x^{k_0p}-x^{k_{p-1}p+p}[/tex]
ora effettuandola divisione tra polinomi o col teorema del resto o come volete,si vede che esiste un p(x) a coefficienti interi
Due domande: Dove li hai visti i complessi? Perche P deve essere primo?
1280000401 è primo?
Re: 1280000401 è primo?
Uhm, non ho ben capito cosa fai agli esponenti, e soprattutto da dove parti e dove arrivi... 
Comunque hai ragione, dovrebbe funzionare anche con un $n$ generico!
Comunque hai ragione, dovrebbe funzionare anche con un $n$ generico!
Re: 1280000401 è primo?
mi dispiace che non si sia capito,se fosse stato su carta sarebbe stato piu chiaro...
ricapitolando
trovo una formula compatta per scrivere [tex]1+x+x^2...+x^{p-1}[/tex] che è [tex]\displaystyle \frac{1-x^p}{1-x}[/tex] , questa divide il polinomio da considerare se e solo se la forma estesa lo divide
se funziona una cosa del genere allora si puo scrivere [tex]\displaystyle \frac{1-x^p}{1-x} \cdot P(x)=x^{k_0p}+x^{k_1p+1}....+x^{k_{p-1}p+p-1}[/tex] per qualche polinomio a coefficienti interi(la scelta dei coefficenti k dipende unicamente dal fatto che la classe di resto deve essere completa,essi non sono necessariamente uguali o legati da qualche tipo di relazione)
poi moltiplicando ottengo [tex](1-x^p) \cdot P(x)=x^{k_0p}-x^{k_{p-1}p+p}[/tex]
infine se [tex]\displaystyle 1-x^p \mid x^{k_0p}-x^{k_{p-1}p+p}[/tex] allora il polinomio [tex]P(x)[/tex] è ha coefficienti interi
quest'ultimo fatto sfrutta un induzione che so fare con la solita divisione tra polinomi,che è difficile da spiegare,ma che con un immagine sarebbe scontato
ma [tex]n_1p+p=(n_1+1)p[/tex] si vede quindi che il coefficiente è sceso di 1,mantenendo inalterati tutto il resto,ne segue che qualsiasi coefficiente [tex]n_1[/tex] si prenda,ci si puo ricondurre al caso in cui [tex]n_1=0[/tex]
cioe quando si deve dividere [tex]x^{n_0p}-1[/tex] per [tex]-x^p+1[/tex]
ora per calcolare tutto piu semplicemente dico che [tex]x^p-1 \mid x^{n_0p}-1[/tex] (invertito il segno)
divisione tra polinomi
da cui si vede che per ogni [tex]n_0[/tex] che scegliamo possiamo continuare a "scendere" fino ad arrivare al caso [tex]n_0=1[/tex] che è banalmente vera,praticamente tutto questo cas ino era per dimostrare la divisibilita
So perfettamente che la dimostrazione è scritta in maniera mostruosa,e che l'induzione sarebbe da n a n+1 ,ma non vedo perche cosi non dovrebe funzionare,mi pare quindi corretta
ricapitolando
trovo una formula compatta per scrivere [tex]1+x+x^2...+x^{p-1}[/tex] che è [tex]\displaystyle \frac{1-x^p}{1-x}[/tex] , questa divide il polinomio da considerare se e solo se la forma estesa lo divide
se funziona una cosa del genere allora si puo scrivere [tex]\displaystyle \frac{1-x^p}{1-x} \cdot P(x)=x^{k_0p}+x^{k_1p+1}....+x^{k_{p-1}p+p-1}[/tex] per qualche polinomio a coefficienti interi(la scelta dei coefficenti k dipende unicamente dal fatto che la classe di resto deve essere completa,essi non sono necessariamente uguali o legati da qualche tipo di relazione)
poi moltiplicando ottengo [tex](1-x^p) \cdot P(x)=x^{k_0p}-x^{k_{p-1}p+p}[/tex]
infine se [tex]\displaystyle 1-x^p \mid x^{k_0p}-x^{k_{p-1}p+p}[/tex] allora il polinomio [tex]P(x)[/tex] è ha coefficienti interi
quest'ultimo fatto sfrutta un induzione che so fare con la solita divisione tra polinomi,che è difficile da spiegare,ma che con un immagine sarebbe scontato
ma [tex]n_1p+p=(n_1+1)p[/tex] si vede quindi che il coefficiente è sceso di 1,mantenendo inalterati tutto il resto,ne segue che qualsiasi coefficiente [tex]n_1[/tex] si prenda,ci si puo ricondurre al caso in cui [tex]n_1=0[/tex]
cioe quando si deve dividere [tex]x^{n_0p}-1[/tex] per [tex]-x^p+1[/tex]
ora per calcolare tutto piu semplicemente dico che [tex]x^p-1 \mid x^{n_0p}-1[/tex] (invertito il segno)
divisione tra polinomi
da cui si vede che per ogni [tex]n_0[/tex] che scegliamo possiamo continuare a "scendere" fino ad arrivare al caso [tex]n_0=1[/tex] che è banalmente vera,praticamente tutto questo cas ino era per dimostrare la divisibilita
So perfettamente che la dimostrazione è scritta in maniera mostruosa,e che l'induzione sarebbe da n a n+1 ,ma non vedo perche cosi non dovrebe funzionare,mi pare quindi corretta
Re: 1280000401 è primo?
Uhm, ok penso di capire quello che hai fatto...
Una cosa però, piuttosto importante:
$\displaystyle(1-x)\left(x^{k_0p}+x^{k_1p+1}+\dots+x^{k_{p-1}p+p-1}\right)=x^{k_0p}+x^{k_1p+1}+\dots+x^{k_{p-1}p+p-1}-\left(x^{k_0p+1}+x^{k_1p+1+1}+\dots+x^{k_{p-1}p+p-1+1}\right)=\\=\displaystyle x^{k_0p}-x^{k_0p+1}+x^{k_1p+1}-x^{k_1p+1+1}+x^{k_1p+1}+\dots-x^{k_{p-1}p+p-1+1}+x^{k_{p-1}p+p-1}=\ast$
ma non è banale nè ovvio il fatto che $\ast=x^{k_0p}-x^{k_{p-1}p+p}$: perché è vero?
Esplicitando questo fatto c'è anche una soluzione moolto più breve e lineare...
Una cosa però, piuttosto importante:
$\displaystyle(1-x)\left(x^{k_0p}+x^{k_1p+1}+\dots+x^{k_{p-1}p+p-1}\right)=x^{k_0p}+x^{k_1p+1}+\dots+x^{k_{p-1}p+p-1}-\left(x^{k_0p+1}+x^{k_1p+1+1}+\dots+x^{k_{p-1}p+p-1+1}\right)=\\=\displaystyle x^{k_0p}-x^{k_0p+1}+x^{k_1p+1}-x^{k_1p+1+1}+x^{k_1p+1}+\dots-x^{k_{p-1}p+p-1+1}+x^{k_{p-1}p+p-1}=\ast$
ma non è banale nè ovvio il fatto che $\ast=x^{k_0p}-x^{k_{p-1}p+p}$: perché è vero?
Esplicitando questo fatto c'è anche una soluzione moolto più breve e lineare...
Re: 1280000401 è primo?
Perche mi sono sbagliato,nella fretta ho praticamente dimenticato che i coefficienti variavanoDrago ha scritto: Una cosa però, piuttosto importante:
$\displaystyle(1-x)\left(x^{k_0p}+x^{k_1p+1}+\dots+x^{k_{p-1}p+p-1}\right)=x^{k_0p}+x^{k_1p+1}+\dots+x^{k_{p-1}p+p-1}-\left(x^{k_0p+1}+x^{k_1p+1+1}+\dots+x^{k_{p-1}p+p-1+1}\right)=\\=\displaystyle x^{k_0p}-x^{k_0p+1}+x^{k_1p+1}-x^{k_1p+1+1}+x^{k_1p+1}+\dots-x^{k_{p-1}p+p-1+1}+x^{k_{p-1}p+p-1}=\ast$
ma non è banale nè ovvio il fatto che $\ast=x^{k_0p}-x^{k_{p-1}p+p}$: perché è vero?
Esplicitando questo fatto c'è anche una soluzione moolto più breve e lineare...
In quanto alla soluzione,questa è la prima che mi è venuta in mente,peccato che fosse sbagliata
Re: 1280000401 è primo?
Allora, abbiamo detto che $\displaystyle p(x):=1+x+x^2+x^3+\dots+x^{n-1}=\frac{x^n-1}{x-1}$; ora noi vogliamo sapere cosa succede se mettiamo una radice $\alpha$ di $p(x)$ in $\displaystyle q(x):=x^{a_0}+\dots+x^{a_{n-1}}$.
Però, che proprietà importante ha $\alpha$?
($p(\alpha)=0\implies ?$ e quindi $\alpha^{a_i}=?$)
Però, che proprietà importante ha $\alpha$?
($p(\alpha)=0\implies ?$ e quindi $\alpha^{a_i}=?$)
Re: 1280000401 è primo?
mi rendo conto di aver lasciato un topic aperto inutilmente per 5 giorni circa, purtroppo l'anno scolastico è agli sgoccioli e vorrei evitare di trovarmi una sfilza di 6/7 in pagella,mi sono impegnato e non ho avuto tempo per fare nient'altro,comunque..Drago ha scritto:Allora, abbiamo detto che $\displaystyle p(x):=1+x+x^2+x^3+\dots+x^{n-1}=\frac{x^n-1}{x-1}$; ora noi vogliamo sapere cosa succede se mettiamo una radice $\alpha$ di $p(x)$ in $\displaystyle q(x):=x^{a_0}+\dots+x^{a_{n-1}}$.
Però, che proprietà importante ha $\alpha$?
($p(\alpha)=0\implies ?$ e quindi $\alpha^{a_i}=?$)
Per risolvere quest'esercizio bastava conoscere quella cosa del n-agono regolare (grazie Drago,bell'introduzione ai complessi
)un polinomio [tex]A(x)[/tex] divide un altro polinomio [tex]B(x)[/tex] se tutte le radici di [tex]A(x)[/tex] sono anche radici di [tex]B(x)[/tex] perche possiamo riscrivere [tex]A(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3).....(x-\alpha_n)[/tex] e [tex]B(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3).....(x-\alpha_n) \cdot Q(x)[/tex]
e ovviamente [tex]\displaystyle \frac{B(x)}{A(x)}=Q(x)[/tex]
(logicamente i polinomi sono stati fattorizzati in campo complesso, altra grande comodita)
supponiamo [tex]\alpha[/tex] radice di [tex]\displaystyle p(x):=1+x+x^2+x^3+\dots+x^{p-1}=\frac{x^p-1}{x-1}[/tex] ,deve valere che [tex]\frac{\alpha^p-1}{\alpha-1}=0[/tex] qundi il denominatore deve essere 0,da cui [tex]\alpha=\sqrt[p]{1}[/tex]
qui entra in gioco il teorema del n-agono,esso dice che nel piano complesso (un piano che ha disposti sull'asse x i reali e sull' asse y i complessi con parte reale pari a 0 ([tex]z=a+bi[/tex] a è la parte reale e b quella immaginaria,il valore di [tex]a[/tex] individua un punto sull'asse x,mentre [tex]b[/tex] su y))
le radici n-esime di 1 sono disposte sui vertici di un n-agono regolare che ha un vertice su 1,cioè coordinate [tex](1 , 0)[/tex] (questo a causa del fatto che essendo la potenza una moltiplicazione ripetuta,e dato che la moltiplicazione tra complessi individua un punto nel piano complesso dato dal prodotto dei moduli (distanza dall' origine) e da un angolo con l'asse x dato dalla somma degli angoli dei fattori, dato che il modulo non varia poiche [tex]1^p=1[/tex] a noi interessa che l'angolo con l'asse x (chiamato argomento) sia 0 dopo p passaggi,in modo tale che si torni su uno, i numeri che soddisfano questa richiesta sono n)
ora bisogna dimostrare che ogni [tex]\alpha[/tex] è radice anche del polinomio completo di residui modulo p,ma è ovvio!Proprio a causa del n-agono!
Infatti possiamo immaginare di modulare gli esponenti per p poiche p è un ordine moltiplicativo sicuro,perche se ogni radice elevata alla p sta su uno,allora il numero di elevamenti minimi che servono a quella radice per tornare su 1 divide p,quindi modulare per p è lecito perche se moduliamo in tal modo rispettiamo la modulazione per il numero di elevamenti minimi (che non consciamo)
modulando per p infine otteniamo il polinomio [tex]\displaystyle p(x):=1+x+x^2+x^3+\dots+x^{p-1}[/tex] che per ipotesi aveva ogni [tex]\alpha[/tex] come radice!