1280000401 è primo?

[Drago]

Determinare se il numero $1280000401$ è primo o no.
N.B: senza WolframAlpha o calcolatrici o computer vari, ovviamente

[Livex]

Visto che questo problema è qui da 2 settimane,provo io....
l'intero è uguale a [tex]20^{7}+20^{2}+1[/tex] e se si riuscisse a fattorizzare il polinomio [tex]x^{7}+x^{2}+1[/tex] in qualsiasi cosa,ovviamente non sarebbe primo...
Come si fattorizza? O in alternativa come si dimostra che è irriducibile?

[Drago]

Ok, giusto...
Un hint è:

il polinomio è fattorizzabile
Il problema vero quindi è: come si fattorizza $x^7+x^2+1$ (e da qua poi c'è anche una generalizzazione interessante e carina)

[LeZ]

Un super hint: Quando [tex]w^2+w+1\mid w^n+w+1[/tex] ? Quindi?

[Livex]

[tex](x^{2}+x+1)((x^{5}-x^{4}+x^{2}-x+1)[/tex]

il perche lo scrivo dopo,sto facendo cesenatico 2005 e mi sono interrotto gia 3 volte

[Livex]

Allora [tex]w^2+w+1\mid w^n+w+1[/tex] se e solo se [tex](-w^2-1)^n+(-w^2-1)+1=0[/tex] per il teorema di ruffini pero cosi non torna,avevo visto quel meno e l'n dispari allora ho pensato che tutto si annullasse! Mai provare a risolvere due problemi insieme,il risultato è questo...
Comunque il risultato mi sembra corretto,ma ottenuto per sola fortuna.

[Drago]

Hint:
funziona sse $n\equiv2\pmod3$

[Livex]

c'entrano qualcosa i numeri triangolari nella generalizzazione oppure sto delirando?
[tex]w^k+w^{k-1}+w^{k-2}....+w+1 \mid w^n+w+1[/tex] se [tex]\frac{k \cdot (k+1)}{2} \mid n+1[/tex]

[Drago]

Uhm, non saprei... Io conosco solo la dimostrazione del caso generale, che è facile se si ha una qualche nozione di complessi (radici dell'unità)
Prova a scrivere quello che hai fatto

[Livex]

Prova a scrivere quello che hai fatto

Non ho fatto niente
era solamente una supposizione,e dato che spesso si rivelano vere lo scritta,ma non ha nessuna base!
classiche conseguenze se uno ha letto "il mago dei numeri"