1280000401 è primo?

[enigma]

c'entrano qualcosa i numeri triangolari nella generalizzazione oppure sto delirando?
[tex]w^k+w^{k-1}+w^{k-2}....+w+1 \mid w^n+w+1[/tex] se [tex]\frac{k \cdot (k+1)}{2} \mid n+1[/tex]

$n=2, k=1$.

[Livex]

Ok è durata pochissimo
Però se escludi il caso k=1 (che divide tutto)?

EDIT:neanche cosi...

[Livex]

non mi pare un granche come dimostrazione,comunque...

passo base: [tex]x^2+x+1 \mid x^2+x+1[/tex] si
passo induttivo: possiamo scrivere come [tex](x^2+x+1) \cdot k=x^{3n+2}+x+1[/tex] per qualche polinomio k,se e vera questa relazione,è vero che è possibile per tutti gli n congrui a 2 mod 3
[tex]\displaystyle k=\frac{x^{3n+2}+x+1}{x^2+x+1}[/tex] effettuando la divisione tra polinomi che è complicato riportare qui,a un certo punto vien fuori un cosa del tipo [tex]x^{3n-1}+x+1[/tex] da dividere sempre per [tex]x^2+x+1[/tex] con un quoziente gia formato...
notiamo che l'esponente di grado massimo è diminiuito di 3,puo essere quindi riscritto come [tex]3s+2[/tex] per s naturale,ma allora ora verra fuori di nuovo [tex]3s-1[/tex] ,si itera il procedimento fino a quando si arrivera a 2,che come abbiamo visto nel passo base funziona!
in modo del tutto analogo si potrebbe dimostrare gli altri casi di congruenza mod 3

[Drago]

Uhm, dovresti scriverla meglio
Tu devi passare da $n$ ad $n+1$, non viceversa

Per esempio:
Mostriamo per induzione che $x^2+x+1\mid x^{3n-1}+x+1$.
P. base: $n=1$ funziona
P. induttivo: supponiamo che $x^{3n-1}+x+1=(x^2+x+1)\cdot p(x)$
Allora $\displaystyle x^{3(n+1)-1}+x+1=x^{3n+2}+x+1=(x^2+x+1)(x^{3n}-x^{3n-1})+x^{3n-1}+x+1=(x^2+x+1)(x^{3n}-x^{3n-1}+p(x))=(x^2+x+1)\cdot q(x)$

Ora, generalizziamo un po'!

Dimostrare che se $p$ è primo e $\{a_0,a_1,\ldots,a_{p-1}\}\subseteq\mathbb N$ e' un sistema completo di residui in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ allora vale la seguente divisione tra polinomi (e in particolare, per tutti gli interi $x$): \[ \sum_{i=0}^{p-1}{x^i} \mid \sum_{i=0}^{p-1}{x^{a_i}} \]

[Livex]

Dimostrare che se $p$ è primo e $\{a_0,a_1,\ldots,a_{p-1}\}\subseteq\mathbb N$ e' un sistema completo di residui in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ allora vale la seguente divisione tra polinomi (e in particolare, per tutti gli interi $x$): \[ \sum_{i=0}^{p-1}{x^i} \mid \sum_{i=0}^{p-1}{x^{a_i}} \]

con sistema completo di residui in simbolo strano intendi che sono presenti tutti i resti possibili nella divisione per p?

[afullo]

Dimostrare che se $p$ è primo e $\{a_0,a_1,\ldots,a_{p-1}\}\subseteq\mathbb N$ e' un sistema completo di residui in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ allora vale la seguente divisione tra polinomi (e in particolare, per tutti gli interi $x$): \[ \sum_{i=0}^{p-1}{x^i} \mid \sum_{i=0}^{p-1}{x^{a_i}} \]

con sistema completo di residui in simbolo strano intendi che sono presenti tutti i resti possibili nella divisione per p?

Sì, ognuno appartiene ad una classe differente e tutte le classi sono coperte da un elemento.

[Livex]

quindi gli elementi dell'insieme non sono necessariamente in successione aritmetica?

[Livex]

Boh,ne riparliamo una volta studiati i complessi.

[afullo]

quindi gli elementi dell'insieme non sono necessariamente in successione aritmetica?

No, non necessariamente.

[Drago]

In realtà non servono quasi i complessi... (basta saperne l'esistenza)
Infatti il primo polinomio ($1+x+x^2+\dots+x^{p-1}$) si scrive molto bene, essendo una successione geometrica... Da questa scrittura si vede una cosa molto interessante, che porta a concludere
Ricordo che $\alpha$ è detta radice di un polinomio $p(x)$ se $p(\alpha)=0$, e che $p(x)\mid q(x)$ sse tutte le radici di $p(x)$ sono anche radici di $q(x)$