Problema 14 della gara a squadre

[ercolete]

Fischer Jr. e Eames travestito da Browning si ritrovano prigionieri. Eames tenta di far rivelare a Fischer una sequenza di numeri, che però gli risponde di non avere alcuna combinazione. "Forse te l'ha data, ma tu non sapevi che fosse una combinazione" suggerisce Eames. "Si, in effetti una volta mi chiese quale sia il più piccolo $n\geq 2013$ tale che $n$ divide l'$n$-esimo numero di Fibonacci, però non seppi cosa rispondergli... che numero è, zio Peter?"

[enigma]

Sia $\ell(n)$ il minimo indice positivo per cui $n$ divide $F_{\ell(n)}$. Allora $p$ divide $F_m$ se e solo se $\ell(p)$ divide $m$.

- $2013$ non funziona$\mod 3$ perché $\ell(3)=4$;

- $2014$ non funziona$\mod 2$ perché $\ell(2)=3$;

- $2015$ non funziona$\mod 13$ perché $\ell(13)=7$;

- $2016$ funziona. In effetti, $\ell(2^5)=24$-o più velocemente se $n$ è multiplo di $12$ allora l'esponente di $2$ nella fattorizzazione di $F_n$ è $2+v_2(n)$-, $\ell(3^2)=12$-o anche qui l'esponente di $3$ in $F_n$ è $1+v_3(n)$ se $n$ è multiplo di $4$-, $\ell(7)=8$.

Commento. Un altro facile esercizio è dimostrare che esistono infiniti $n$ che soddisfano la proprietà del testo.