Gara classi prime 2014 - quesito 15

[Gizeta]

Si considerino i polinomi

[tex]p(x)=x^2+x+1[/tex]

[tex]q(x)=x^4+x^2+1[/tex]

[tex]h(x)= x^4 +64[/tex]

Quali, tra essi, non sono ulteriormente scomponibili come prodotto di due polinomi a coefficienti interi di grado strettamente più basso?

Testo nascosto:

Qui è il caso di dilungarci un pochino.
[tex]p(x)[/tex] è una quadratica, se fosse scomponibile avrebbe due fattori lineari del tipo [tex](x-\alpha)[/tex], quindi per Ruffini deve valere [tex]p(\alpha)=0[/tex].
Si può dimostrare (vedi il primo esercizio postato qui) che quell'espressione è sempre maggiore di 0 per ogni [tex]x[/tex], quindi non è ulteriormente scomponibile per quanto detto prima.

Ma valgono

[tex]x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)[/tex]

[tex]x^4+64=x^4+16x^2+64-16x^2=(x^2+8)^2-(4x)^2=(x^2-4x+8)(x^2+4x+8)[/tex]

La risposta è dunque "solo [tex]p(x)[/tex]" B

[nil]

Sophie Germain, ancora tu