Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

In particolare vengono ripetuti i coefficienti di grado $363,282,120,39$ che quindi hanno coefficiente $2$.

Il fatto è che dubito ci sia un metodo più bello che contare... e certo quello non è un metodo bello

In pratica ti sta chiedendo quali sono i numeri che si scrivono come somme di potenze di 3 e di $39$...
Abbiamo di fisso lo 0 come ultima cifra (non c'è il termine $1+x$) e poi abbiamo altre 5 cifre, che possono essere 0 o 1; questo per quanto riguarda il prodotto escludendo $1+x^{39}$. Se ora moltiplichiamo per $1+x^{39}$ ci sarà il doppio dei termini precedenti, tranne che se ci sono dei termini che si sovrappongono; essendo che $39=1110_3$, allora abbiamo che dato qualunque numero che termina con $0000_3$ (e ce ne sono 4), se gli si aggiunge 39 si ottiene un numero con soli $1$ e $0$, che avevamo già. Dunque abbiamo esattamente $2\cdot2^2-4$ coefficienti non nulli.
(Nota: possiamo dire che tutti i nonnulli hanno coefficiente pari a 1, tranne quelli di grado $39,120,282,363$, che hanno coefficiente 2)

Ok, grazie mille Drago!