L'esercizio mi è venuto adesso, da casa, ma fino all'idea del grafo ci ero arrivato anche in gara, mi sento un idiota per non averle dato speranze, era quasi geniale (soprattutto rispetto al mio modesto livello
)...
Trasformo la scacchiera in un grafo ottagonale "spostando" le caselle in modo che caselle raggiungibili in una mossa del cavallo siano ora adiacenti (questo posso farlo perché da ogni casella è raggiungibile da esattamente altre due caselle, che saranno i vertici adiacenti nel nostro grafo trasformato).
La casella nell'angolo opposto è dunque perfettamente opposta alla casa di partenza anche nel trasformato.
Ora, gli unici percorsi che ci fanno arrivare alla casa in $12$ mosse sono quelli del tipo: $DDDDDDDDSSSS$ e $DDDDDDDDDDDD$ ed il loro anagrammi, nonché le loro speculari che si ottengono scambiando la mossa verso destra con quella verso sinistra.
Tutti i modi di arrivare saranno dunque:
$$2\cdot\left({12\choose 4}+{12 \choose 0}\right)=2*496=992$$