OP iniziale:
Gara provinciale - es.6
Gara provinciale - es.6
Quanti interi positivi sono una potenza di $4$ e si scrivono in base $3$ usando solo le cifre $0$ e $1$, quest'ultimo al più due volte?
OP iniziale:
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Testo nascosto:
Re: Problema 6- gara provinciale 2014
a me veniva solo in un caso, con 4.
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Re: Problema 6- gara provinciale 2014
4^0 e 4^1
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Re: Problema 6- gara provinciale 2014
Io ho messo 2 perchè gli unici due casi che ho trovato sono stati 4 alla 0 e 4 alla 1
Re: Problema 6- gara provinciale 2014
Proviamo con un solo $1$ in base $3$, dobbiamo risolvere:
$$3^x=4^y$$
Che chiaramente a soluzioni intere solo per $x=y=0$, otteniamo quindi la soluzione: $1_3=4^0$.
Adesso piazziamo le due potenze di $3$, ovvero due $1$...
$$3^x+3^y=4^z$$
Senza perdita di generalità, pongo $x>y$:
Se $y>0$ il membro di destra è multiplo di $3$ e quello di sinistra no, quindi non ci sono soluzioni.
Se $y=0$ otteniamo:
$$3^x+1=4^z$$
$$3^x=4^z-1\Rightarrow 3^x=(2^z+1)(2^z+1)$$
E da qui si conclude notando che entrambi i termini del membro di destra sono potenze di $3$, e quindi visto che distano solo $2$, devono essere $1$ e $3$. Con questa relazione, otteniamo $z=1$, $x=1$ da cui:
$$11_3=4^1$$
E non ci sono altre soluzioni. Questo è quello che ho fatto in gara, uno dei pochi in cui sembra non abbia sbagliato i conti
$$3^x=4^y$$
Che chiaramente a soluzioni intere solo per $x=y=0$, otteniamo quindi la soluzione: $1_3=4^0$.
Adesso piazziamo le due potenze di $3$, ovvero due $1$...
$$3^x+3^y=4^z$$
Senza perdita di generalità, pongo $x>y$:
Se $y>0$ il membro di destra è multiplo di $3$ e quello di sinistra no, quindi non ci sono soluzioni.
Se $y=0$ otteniamo:
$$3^x+1=4^z$$
$$3^x=4^z-1\Rightarrow 3^x=(2^z+1)(2^z+1)$$
E da qui si conclude notando che entrambi i termini del membro di destra sono potenze di $3$, e quindi visto che distano solo $2$, devono essere $1$ e $3$. Con questa relazione, otteniamo $z=1$, $x=1$ da cui:
$$11_3=4^1$$
E non ci sono altre soluzioni. Questo è quello che ho fatto in gara, uno dei pochi in cui sembra non abbia sbagliato i conti
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: Problema 6- gara provinciale 2014
Innanzitutto si tolgono i casi particolari, poi abbiamo [tex]3^a+3^b=4^x[/tex], se a e b fossero maggiori di 0 si avrebbe che 3 divide una potenza di 4, assurdo.
quindi [tex]3^a+1=4^x[/tex], se [tex]x=1[/tex] si ottiene una soluzione, poi se [tex]x \ge 2[/tex] 8 divide la potenza di 4, dunque [tex]3^a+1+1 \equiv 0 \pmod{8}[/tex], per a pari quella cosa è congrua a 2, infatti [tex]3^{2n}=9^n\equiv 1[/tex], se è dispari viene 3 per uno, in ogni caso non è mai congruo a 0.
quindi [tex]3^a+1=4^x[/tex], se [tex]x=1[/tex] si ottiene una soluzione, poi se [tex]x \ge 2[/tex] 8 divide la potenza di 4, dunque [tex]3^a+1+1 \equiv 0 \pmod{8}[/tex], per a pari quella cosa è congrua a 2, infatti [tex]3^{2n}=9^n\equiv 1[/tex], se è dispari viene 3 per uno, in ogni caso non è mai congruo a 0.
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Re: Gara provinciale - es.6
Quindi in definitiva la risposta giusta era...?