Gara provinciale - es.6

Selezioni provinciali e Gara delle classi prime delle Olimpiadi della Matematica 2013-2014
Rispondi
Emanuele
Messaggi: 16
Iscritto il: 27/11/2013, 14:17

Gara provinciale - es.6

Messaggio da Emanuele »

Quanti interi positivi sono una potenza di $4$ e si scrivono in base $3$ usando solo le cifre $0$ e $1$, quest'ultimo al più due volte?

OP iniziale:
Testo nascosto:
Come avete risolto il problema 6? Era quello con la base 3 e le potenze di 4, se vi ricordate ..
loribere
Messaggi: 21
Iscritto il: 27/11/2013, 14:17

Re: Problema 6- gara provinciale 2014

Messaggio da loribere »

a me veniva solo in un caso, con 4.
stef6mennecozz
Messaggi: 56
Iscritto il: 27/11/2013, 13:50

Re: Problema 6- gara provinciale 2014

Messaggio da stef6mennecozz »

4^0 e 4^1
199lele1996
Messaggi: 6
Iscritto il: 27/11/2013, 13:58

Re: Problema 6- gara provinciale 2014

Messaggio da 199lele1996 »

Io ho messo 2 perchè gli unici due casi che ho trovato sono stati 4 alla 0 e 4 alla 1
Lasker
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Problema 6- gara provinciale 2014

Messaggio da Lasker »

Proviamo con un solo $1$ in base $3$, dobbiamo risolvere:
$$3^x=4^y$$
Che chiaramente a soluzioni intere solo per $x=y=0$, otteniamo quindi la soluzione: $1_3=4^0$.
Adesso piazziamo le due potenze di $3$, ovvero due $1$...
$$3^x+3^y=4^z$$
Senza perdita di generalità, pongo $x>y$:
Se $y>0$ il membro di destra è multiplo di $3$ e quello di sinistra no, quindi non ci sono soluzioni.
Se $y=0$ otteniamo:
$$3^x+1=4^z$$
$$3^x=4^z-1\Rightarrow 3^x=(2^z+1)(2^z+1)$$
E da qui si conclude notando che entrambi i termini del membro di destra sono potenze di $3$, e quindi visto che distano solo $2$, devono essere $1$ e $3$. Con questa relazione, otteniamo $z=1$, $x=1$ da cui:
$$11_3=4^1$$
E non ci sono altre soluzioni. Questo è quello che ho fatto in gara, uno dei pochi in cui sembra non abbia sbagliato i conti :mrgreen:
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Livex
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Problema 6- gara provinciale 2014

Messaggio da Livex »

Innanzitutto si tolgono i casi particolari, poi abbiamo [tex]3^a+3^b=4^x[/tex], se a e b fossero maggiori di 0 si avrebbe che 3 divide una potenza di 4, assurdo.

quindi [tex]3^a+1=4^x[/tex], se [tex]x=1[/tex] si ottiene una soluzione, poi se [tex]x \ge 2[/tex] 8 divide la potenza di 4, dunque [tex]3^a+1+1 \equiv 0 \pmod{8}[/tex], per a pari quella cosa è congrua a 2, infatti [tex]3^{2n}=9^n\equiv 1[/tex], se è dispari viene 3 per uno, in ogni caso non è mai congruo a 0.
catadulecense
Messaggi: 16
Iscritto il: 27/11/2013, 16:26

Re: Gara provinciale - es.6

Messaggio da catadulecense »

Quindi in definitiva la risposta giusta era...?
Livex
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Gara provinciale - es.6

Messaggio da Livex »

2
Rispondi