Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Quanti interi positivi sono una potenza di $4$ e si scrivono in base $3$ usando solo le cifre $0$ e $1$, quest'ultimo al più due volte?

OP iniziale:

a me veniva solo in un caso, con 4.

4^0 e 4^1

Io ho messo 2 perchè gli unici due casi che ho trovato sono stati 4 alla 0 e 4 alla 1

Proviamo con un solo $1$ in base $3$, dobbiamo risolvere:
$$3^x=4^y$$
Che chiaramente a soluzioni intere solo per $x=y=0$, otteniamo quindi la soluzione: $1_3=4^0$.
Adesso piazziamo le due potenze di $3$, ovvero due $1$...
$$3^x+3^y=4^z$$
Senza perdita di generalità, pongo $x>y$:
Se $y>0$ il membro di destra è multiplo di $3$ e quello di sinistra no, quindi non ci sono soluzioni.
Se $y=0$ otteniamo:
$$3^x+1=4^z$$
$$3^x=4^z-1\Rightarrow 3^x=(2^z+1)(2^z+1)$$
E da qui si conclude notando che entrambi i termini del membro di destra sono potenze di $3$, e quindi visto che distano solo $2$, devono essere $1$ e $3$. Con questa relazione, otteniamo $z=1$, $x=1$ da cui:
$$11_3=4^1$$
E non ci sono altre soluzioni. Questo è quello che ho fatto in gara, uno dei pochi in cui sembra non abbia sbagliato i conti

Innanzitutto si tolgono i casi particolari, poi abbiamo [tex]3^a+3^b=4^x[/tex], se a e b fossero maggiori di 0 si avrebbe che 3 divide una potenza di 4, assurdo.

quindi [tex]3^a+1=4^x[/tex], se [tex]x=1[/tex] si ottiene una soluzione, poi se [tex]x \ge 2[/tex] 8 divide la potenza di 4, dunque [tex]3^a+1+1 \equiv 0 \pmod{8}[/tex], per a pari quella cosa è congrua a 2, infatti [tex]3^{2n}=9^n\equiv 1[/tex], se è dispari viene 3 per uno, in ogni caso non è mai congruo a 0.

Quindi in definitiva la risposta giusta era...?

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