Gara provinciale - es.8

Selezioni provinciali e Gara delle classi prime delle Olimpiadi della Matematica 2013-2014
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stef6mennecozz
Messaggi: 56
Iscritto il: 27/11/2013, 13:50

Gara provinciale - es.8

Messaggio da stef6mennecozz »

Testo. Dato il sistema $$\begin{cases}x+y+z=7\\ x^2+y^2+z^2=27\\ xyz=5\end{cases}$$ determinare quante sono le terne ordinate $(x,y,z)\in\mathbb R^3$ che ne sono soluzione.
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Non so se il numero è giusto ma intendo quello del sistema. Voi che soluzione avete dato?
Laura Locatelli
Messaggi: 4
Iscritto il: 27/11/2013, 16:35

Re: Gara provinciale - es.8

Messaggio da Laura Locatelli »

Andando per tentativi ho messo 3 soluzioni pensando alle terne (1,1,5) (1,5,1) (5,1,1)
Lasker
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Gara provinciale - es.8

Messaggio da Lasker »

Osservi che $5,1,1$ e cicliche è soluzione; a questo punto scrivi:
$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)\Rightarrow 49=27+2(xy+yz+xz)$$
Da questa puoi ricavarti $xy+xz+yz=11$, quindi hai tutte le somme simmetriche elementari e puoi costruirti il polinomio:
$$x^3-7x^2+11x-5=0$$
Che ha come radici le soluzioni del sistema.
Visto che è di terzo grado (io, pollo, ho pensato avesse $3$ soluzioni distinte ed ho messo $6$...), ha solo $3$ soluzioni, cioè proprio $5,1,1$. Visto che è un sistema simmetrico, devi contare anche le permutazioni della terna.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
mangiaenio
Messaggi: 18
Iscritto il: 27/11/2013, 14:14

Re: Gara provinciale - es.8

Messaggio da mangiaenio »

si poteva riportare tutto ad un'equazione di terzo grado del tipo t^3+at^2+bt+c=0
a=-(x+y+z), c=-xyz e b=xy+yz+xz.
potevi ricavarti quest'ultimo dalla seconda equazione con il completamento dei quadrati. x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=49-2b=27, da cui b=11
l'equazione diventa t^3-7t^2+11t-5=0. Le soluzioni di questa equazione sono 1,1 e 5, quindi le terne in totale sono 3
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