Testo. Dato il sistema $$\begin{cases}x+y+z=7\\ x^2+y^2+z^2=27\\ xyz=5\end{cases}$$ determinare quante sono le terne ordinate $(x,y,z)\in\mathbb R^3$ che ne sono soluzione.
-----
Non so se il numero è giusto ma intendo quello del sistema. Voi che soluzione avete dato?
Gara provinciale - es.8
-
- Messaggi: 4
- Iscritto il: 27/11/2013, 16:35
Re: Gara provinciale - es.8
Andando per tentativi ho messo 3 soluzioni pensando alle terne (1,1,5) (1,5,1) (5,1,1)
Re: Gara provinciale - es.8
Osservi che $5,1,1$ e cicliche è soluzione; a questo punto scrivi:
$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)\Rightarrow 49=27+2(xy+yz+xz)$$
Da questa puoi ricavarti $xy+xz+yz=11$, quindi hai tutte le somme simmetriche elementari e puoi costruirti il polinomio:
$$x^3-7x^2+11x-5=0$$
Che ha come radici le soluzioni del sistema.
Visto che è di terzo grado (io, pollo, ho pensato avesse $3$ soluzioni distinte ed ho messo $6$...), ha solo $3$ soluzioni, cioè proprio $5,1,1$. Visto che è un sistema simmetrico, devi contare anche le permutazioni della terna.
$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)\Rightarrow 49=27+2(xy+yz+xz)$$
Da questa puoi ricavarti $xy+xz+yz=11$, quindi hai tutte le somme simmetriche elementari e puoi costruirti il polinomio:
$$x^3-7x^2+11x-5=0$$
Che ha come radici le soluzioni del sistema.
Visto che è di terzo grado (io, pollo, ho pensato avesse $3$ soluzioni distinte ed ho messo $6$...), ha solo $3$ soluzioni, cioè proprio $5,1,1$. Visto che è un sistema simmetrico, devi contare anche le permutazioni della terna.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
-
- Messaggi: 18
- Iscritto il: 27/11/2013, 14:14
Re: Gara provinciale - es.8
si poteva riportare tutto ad un'equazione di terzo grado del tipo t^3+at^2+bt+c=0
a=-(x+y+z), c=-xyz e b=xy+yz+xz.
potevi ricavarti quest'ultimo dalla seconda equazione con il completamento dei quadrati. x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=49-2b=27, da cui b=11
l'equazione diventa t^3-7t^2+11t-5=0. Le soluzioni di questa equazione sono 1,1 e 5, quindi le terne in totale sono 3
a=-(x+y+z), c=-xyz e b=xy+yz+xz.
potevi ricavarti quest'ultimo dalla seconda equazione con il completamento dei quadrati. x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=49-2b=27, da cui b=11
l'equazione diventa t^3-7t^2+11t-5=0. Le soluzioni di questa equazione sono 1,1 e 5, quindi le terne in totale sono 3