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Gara provinciale - es.8
Inviato: 20/02/2014, 18:46
da stef6mennecozz
Testo. Dato il sistema $$\begin{cases}x+y+z=7\\ x^2+y^2+z^2=27\\ xyz=5\end{cases}$$ determinare quante sono le terne ordinate $(x,y,z)\in\mathbb R^3$ che ne sono soluzione.
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Non so se il numero è giusto ma intendo quello del sistema. Voi che soluzione avete dato?
Re: Gara provinciale - es.8
Inviato: 20/02/2014, 18:49
da Laura Locatelli
Andando per tentativi ho messo 3 soluzioni pensando alle terne (1,1,5) (1,5,1) (5,1,1)
Re: Gara provinciale - es.8
Inviato: 20/02/2014, 18:55
da Lasker
Osservi che $5,1,1$ e cicliche è soluzione; a questo punto scrivi:
$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)\Rightarrow 49=27+2(xy+yz+xz)$$
Da questa puoi ricavarti $xy+xz+yz=11$, quindi hai tutte le somme simmetriche elementari e puoi costruirti il polinomio:
$$x^3-7x^2+11x-5=0$$
Che ha come radici le soluzioni del sistema.
Visto che è di terzo grado (io, pollo, ho pensato avesse $3$ soluzioni distinte ed ho messo $6$...), ha solo $3$ soluzioni, cioè proprio $5,1,1$. Visto che è un sistema simmetrico, devi contare anche le permutazioni della terna.
Re: Gara provinciale - es.8
Inviato: 20/02/2014, 18:57
da mangiaenio
si poteva riportare tutto ad un'equazione di terzo grado del tipo t^3+at^2+bt+c=0
a=-(x+y+z), c=-xyz e b=xy+yz+xz.
potevi ricavarti quest'ultimo dalla seconda equazione con il completamento dei quadrati. x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=49-2b=27, da cui b=11
l'equazione diventa t^3-7t^2+11t-5=0. Le soluzioni di questa equazione sono 1,1 e 5, quindi le terne in totale sono 3