Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Ragazzi, quanto vi viene il 4? Era quello in cui, preso un numero n di due cifre, si sostituivano ad esso le ultime due cifre di 51n+50. Si chiedeva, dopo 100 sostituzioni, quanti numeri diversi si possono ottenere al variare di n.

Io ho risposto 99 (risposta D, mi pare), perché a ogni numero dispari si sostituisce sempre se stesso, mentre i numeri pari vengono aumentato di 50 (Quindi 2--->52, 4---> 54, 50--->0, 52---> 2, 98---> 48).

Quindi a ogni sostituzione, al variare di n si ottengono 99 numeri diversi (98 uguali, in ordine diverso, a quelli di partenza, più 0 e 50 che continuano ad alternarsi).

Dopo 100 sostituzioni avremo quindi ancora 99 possibili numeri diversi (quelli di partenza con lo 0 al posto del 50).

Quindi risposta D.

Sembrava tutto perfetto finché non sono venuto qui e ho letto che la risposta giusta non era la D.

Per la precisione era la A, che non ricordo a cosa corrispondesse

Ma perchè era ricorsiva, non è che dovevi prendere ogni n diverso, ma sceglievi un n e applicavi l'algoritmo su quello 100 volte, come hai notato con i dispari il numero sostituisce se stesso, mentre con i pari aumenta di 50 quindi dopo 2 passaggi, aumenta di 100, quindi di 0 mod 100, quindi i numeri si alternano ogni 2 passaggi (sempre quelli), è la risposta è 2

Io ho fatto così:
[tex]51n+50=50(n+1)+n\equiv n\pmod{50}[/tex] la classe di resto modulo [tex]50[/tex] è un'invariante, quindi le ultime due cifre possono assumere al più due valori distinti.

Sia N il numero composto dalle ultime due cifre di 51n + 50
51n + 50 = 50 (n + 1) + n

Se il n è dispari, (n + 1) è pari e quindi moltiplicato a 50 da un multiplo di 100, che non modifica unità e decine del risultato N. Quindi se n è dispari ogni mossa il numero resta invariato.
Se n è pari, (n + 1) è dispari e quindi 50 (n + 1) termina con 50, tale per cui il risultato N è n + 50 (diminuito di 100 se n <= 50). Reiterando la mossa si ottiene il numero iniziale n. Quindi il massimo di numeri diversi che si possono ottenere è 2, nel caso in cui n iniziale è pari.

Wow. Come al solito rischio di uscire per aver letto male i testi -.-

Anche io sono vittima dello stesso errore