Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

"Sia ABC un triangolo rettangolo i cui cateti misurano AC=2 e bc=1. Consideriamo la circonferenza tangente all'ipotenusa e alle rette che contengono i cateti, esterna al triangolo: quanto misura il raggio?"

Allora, per dare vita a questo post: io ho messo (3+radice di 5)/2 ma non ne sono troppo certo...l'ho fatta per esclusione, voi cosa avete fatto?

Io ho messo 3 meno radice di cinque fratto 2 misurando con il righello e facendo le proporzioni ahah.. sono abbastanza sicuro però gli altri erano abbastanza diversi.

Livex ha scritto:Allora, per dare vita a questo post: io ho messo (3+radice di 5)/2 ma non ne sono troppo certo...l'ho fatta per esclusione, voi cosa avete fatto?

Era così però non so come spiegartelo senza un disegno

Con una tediosa soluzione analitica... $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

ahh analitica.. non penso mai all'analitica quando faccio le olimpiadi ahaha va be.. però penso ci debba essere un metodo rigoroso anche senza geometria analitica

Perfetto

Io con un po' di mezzedimostrazioni e magheggi avevo dimostrato che potevano essere solo 2 opzioni, ma una delle due, radice di 5, non poteva essere ad occhio perchè era l'ipotenusa del triangolo

Impostando C come origine del piano cartesiano, la circonferenza è tangente ai due assi e quindi nella forma
$ (x-r)^2+(y-r)^2=r^2 $. $AB$ giace sulla retta $x=2-2y$, metto retta e circonferenza a sistema e pongo il delta dell'equazione risolvente nullo... dopo un po' di calcoli ottengo $r=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$, che sono il raggio della circonferenza iscritta (il minore) e il raggio che il problema chiede (il maggiore).

Io l' ho trovato piuttosto immediato (ricordavo la formula)
[tex]A=\left( p-a\right) r_{a}[/tex] e quindi avevamo [tex]1=\left( \dfrac {3+\sqrt {5}}{2}-\sqrt {5}\right) r_{a}[/tex] ovvero [tex]r_{a}=\dfrac {3+\sqrt {5}}{2}[/tex]

È la formula del' area di un triangolo in funzione del raggio della circonferenza exinscritta!

Io ho considerato i due raggi perpendicolari alle rette nei punti di tangenza e le rette stesse. L'area del quadrato è dunque r^2. Ho congiunto il centro con i due vertici del triangolo. I primi due triangoli rettangoli avevano area (r-1)r/2 e (r-2)r/2, quello centrale radq(5)*r/2 e quello iniziale 1. Dunque la somma delle aree era uguale ad r^2, l'area del quadrato. Sviluppando:
2r^2=r^2-r+r^2-2r+radq(5)*r+2
(3-radq(5))r=2
Dividendo e razionalizzando
R=(3+radq(5))/2