Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Qual era la risposta giusta? :/
era
2x^4+5x^3-21x^2+5x+2=0
a+b+c+d-(1/a+1/b+1/c+1/d)

Dovrebbe venire $0$...

[tex]\displaystyle a+b+c+d-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)=a+b+c+d-\frac{abc+abd+acd+bcd}{abcd}[/tex]
Poi per le formule di Viète hai:
[tex]a+b+c+d=abc+abd+acd+bcd=-\frac{5}{2}[/tex]
[tex]abcd=1[/tex]
Sostituisci e hai fatto

In generale, se un polinomio $p(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ ha per radici $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, il polinomio che ha per radici $\lambda_1^{-1},\dots,\lambda_n^{-1}$ è quello ottenuto mettendo al rovescio i coeeficienti, ovvero $q(x)=a_0x^n+\dots+a_{n-1}x+a_n$.
In questo caso il polinomio è palindromo, quindi $p(x)=q(x)$, quindi le radici sono proprio le stesse, in qualche ordine (come ad esempio ci dice WA)

non serviva fare i calcoli
potevamo sostituire per simmetria c=1/a e d=1/b
si vede che le 2 cose che calcoliamo sono identiche