Triennio-Polinomio
Inviato: 27/11/2014, 19:06
Qualcuno ha chiesto come risolvere questo.
"Il numero intero positivo [tex]n[/tex] è tale che il polinomio
[tex]1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-...-2014x^{2013}+nx^{2014}[/tex]
abbia almeno una soluzione intera. Quanto vale [tex]n[/tex]?"
Sia [tex]p[/tex] soluzione intera del polinomio, allora
[tex]1-2p+3p^2-4p^3+5p^4-...-2014p^{2013}+np^{2014}=0[/tex]
[tex]p(-2+3p^1-4p^2+5p^3-...-2014p^{2012}+np^{2013})=-1 \Rightarrow p \mid -1[/tex], ossia [tex]p=1[/tex] o [tex]p=-1[/tex].
Se [tex]p=-1[/tex] abbiamo [tex]\displaystyle n=-\frac{2014\cdot 2015}{2}[/tex], che non va bene in quanto cerchiamo [tex]n >0[/tex].
Se [tex]p=1[/tex], ci rimane [tex]1-2+3-4+...-2014+n=0[/tex], ossia [tex](1-2)+(3-4)+...+(2013-2014)+n=0 \rightarrow n=1007[/tex], non presente fra le soluzioni.
La risposta dovrebbe essere nessuna delle precedenti.
"Il numero intero positivo [tex]n[/tex] è tale che il polinomio
[tex]1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-...-2014x^{2013}+nx^{2014}[/tex]
abbia almeno una soluzione intera. Quanto vale [tex]n[/tex]?"
Sia [tex]p[/tex] soluzione intera del polinomio, allora
[tex]1-2p+3p^2-4p^3+5p^4-...-2014p^{2013}+np^{2014}=0[/tex]
[tex]p(-2+3p^1-4p^2+5p^3-...-2014p^{2012}+np^{2013})=-1 \Rightarrow p \mid -1[/tex], ossia [tex]p=1[/tex] o [tex]p=-1[/tex].
Se [tex]p=-1[/tex] abbiamo [tex]\displaystyle n=-\frac{2014\cdot 2015}{2}[/tex], che non va bene in quanto cerchiamo [tex]n >0[/tex].
Se [tex]p=1[/tex], ci rimane [tex]1-2+3-4+...-2014+n=0[/tex], ossia [tex](1-2)+(3-4)+...+(2013-2014)+n=0 \rightarrow n=1007[/tex], non presente fra le soluzioni.
La risposta dovrebbe essere nessuna delle precedenti.