Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Dati due polinomi monici a coefficienti interi [tex]p(x),q(x)[/tex] sappiamo che [tex](p(x),q(x))=(x-1)(x-2)[/tex] e il loro [tex]m.c.m.[/tex] è [tex](x-1)^2(x-2)^3(x+1)(x-3)[/tex] . Trovare quanti sono i possibili valori di [tex]p(x)[/tex] con [tex]degp(x)\le{degq(x)}[/tex] .

ne tornano 4:
se consideri che il MCD è (x-1)(x-2), ottieni che p(x)=(x-1)(x-2)R e q(x)=(x-1)(x-2)S, con RS=(x-2)(x-3)(x+1).
le permutazioni di questi tre fattori tra p(x) e q(x) sono 8, ma con la restrizione che q(x) deve avere grado maggiore si dimezzano e sono dunque 4.

Pongo [tex]x-1=p_1, x-2=p_2, x-3=p_3, x+1=p_4[/tex], ho che [tex]MCD=p_1*p_2, mcm={p_1}^2*{p_2}^3*p_3*p_4[/tex]
Dato che [tex]p_1[/tex] e [tex]p_3[/tex] vanno ciascuno con massimo grado in un polinomio e grado uno nell'altro, distinguo due casi:
1 - un polinomio contiene [tex]{p_1}^2*{p_2}^3[/tex] e l'altro [tex]p_1*p_2[/tex], ho che comunque dispongo gli altri il primo avrà sempre grado maggiore (il grado corrisponde alla somma degli esponenti dei relativi [tex]p[/tex]).
2 - un polinomio contiene [tex]{p_1}^2*p_2[/tex] e l'altro [tex]p_1*{p_2}^3[/tex], controllo se li dispongo tutti e due nel secondo va bene e questo è un modo, uno sopra e uno sotto buono anche questo due casi, tutti e due sopra è maggiore quello sopra ma non sono obbligato a far esser maggiore quello con [tex]{p_2}^3[/tex], perciò va bene anche questo, quattro casi, per un totale di [tex]8[/tex].

Oppure noto che il prodotto dei polinomi è $$p(x)q(x) = (x - 1)^3(x - 2)^4(x - 3)(x + 1)$$ che ha grado $9$, che è dispari.
Poi (senza tener conto della limitazione sul grado) per ognuno dei $4$ fattori ho $2$ possibilità, quindi totale $2^4$. Se tengo conto del fatto che $\deg(p(x)) \leq \deg(q(x))$ devo dimezzare, e ottengo la soluzione che è proprio $8$.

sono un grandissimo idiota ho considerato il mcm come se fosse il prodotto T.T

cip999 ha scritto:Oppure noto che il prodotto dei polinomi è $$p(x)q(x) = (x - 1)^3(x - 2)^4(x - 3)(x + 1)$$ che ha grado $9$, che è dispari.
Poi (senza tener conto della limitazione sul grado) per ognuno dei $4$ fattori ho $2$ possibilità, quindi totale $2^4$. Se tengo conto del fatto che $\deg(p(x)) \leq \deg(q(x))$ devo dimezzare, e ottengo la soluzione che è proprio $8$.

Io ho fatto prima l'mcm e l'mcd che mi davano il prodotto, poi ho visto i casi in cui p(x) aveva grado 2 (1) quelli in cui aveva grado 3 (4) e quelli di grado 4 a cui devo togliere i casi con $$(x - 2)^2$$ poichè sennò l'mcd sarebbe $$(x - 1)(x - 2)^2$$