Dimostrazione geometria

Selezioni provinciali delle Olimpiadi della Matematica 2014-2015
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helios
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Dimostrazione geometria

Messaggio da helios »

Voi come lo avete risolto ?
Solo a me sembrava particolarmente facile ?

Io l'ho risolto sfruttando queste idee:
Testo nascosto:
Ho chiamato [tex]\alpha,\beta[/tex] gli angoli alla base dei triangoli isosceli costruiti con [tex]AB, AC, AD[/tex]; [tex]\gamma[/tex] i due angoli congruenti individuati dalla bisettrice.
Sfruttando il fatto che la somma di angoli interni del quadrilatero é [tex]=360°[/tex], ho trovato [tex]\gamma=180-\alpha-\beta[/tex], supplementare con [tex]\alpha+\beta[/tex] in C.

Per la seconda parte, ho sfruttato il fatto che i due triangoli hanno in comune [tex]\gamma[/tex] e un secondo angolo si trovava facilmente sfruttando il fatto che sottendevano la stessa corda.

Può andare ?
Newton
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Re: Dimostrazione geometria

Messaggio da Newton »

ho fatto esattamente lo stesso, 15 punti posso prenderli?
helios
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Re: Dimostrazione geometria

Messaggio da helios »

Bhe, se non ci sono errori nel ragionamento nè particolari errori formali.... Non vedo perché no :lol:
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Federico II
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Re: Dimostrazione geometria

Messaggio da Federico II »

Con questa dimostrazione scritta un po' meglio quanti punti potrei prendere?
Testo nascosto:
[Figura con tutti i punti e i segmenti dell'ipotesi e della tesi e la circonferenza passante per $A, B, C, M$]
$(a)$ L'ipotesi $AB=AC=AD$ implica che i triangoli $ABC$ e $ACD$ sono isosceli, rispettivamente sulle basi $BC$ e $CD$. Ne segue che $\angle{ABC}=\angle{BCA}$ e che $\angle{ACD}=\angle{CDA}$. Inoltre visto che $AM$ è per ipotesi bisettrice di $\angle{BAD}$ vale $\angle{BAM}=\angle{MAD}$. Poniamo quindi $\alpha=\angle{ABC}=\angle{BCA}$, $\beta=\angle{ACD}=\angle{CDA}$ e $\gamma=\angle{BAM}=\angle{MAD}$. La somma degli angoli interni del quadrilatero $ABCD$ vale $\angle{BAD}+\angle{ABC}+\angle{BCD}+\angle{CDA}=2\gamma+\alpha+\alpha+\beta+\beta=2(\alpha+\beta+\gamma)$. Ma in ogni quadrilatero la somma degli angoli interni è $360°$, quindi $2(\alpha+\beta+\gamma)=360°$, da cui $\alpha+\beta+\gamma=180°$. La somma degli angoli opposti$\angle{BAM}$ e $\angle{BCM}$ del quadrilatero $ABCM$ vale $\angle{BAM}+\angle{BCM}=\angle{BAM}+\angle{BCA}+\angle{ACD}=\gamma+\alpha+\beta=180°$. Quindi $ABCM$ ha due angoli opposti supplementari, ed è pertanto inscrivibile in una circonferenza, e la tesi è dimostrata.
$(b)$ Visto che $ABCM$ è inscrivibile in una circonferenza vale $\angle{BMA}=\angle{BCA}$ perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (quello sotteso dalla corda $AB$). I triangoli $ANB$ e $ABM$ hanno l'angolo in $\angle{A}$ in comune, e inoltre hanno $\angle{ABN}=\angle{BMA}$ perché entrambi congruenti ad $\angle{BCA}$ (il primo perché $ABC$ è isoscele, il secondo per quanto dimostrato prima). Quindi i due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine (sulla soluzione ufficiale dice che è il secondo, ma io ho scritto che è il primo e continuo a pensarlo, ho controllato anche sul mio libro di geometria e dice che è il primo), quindi la tesi è dimostrata.
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Drago
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Re: Dimostrazione geometria

Messaggio da Drago »

Mi vergogno un po' perché era davvero un angolo, però io ho notato subito che $N$ era l'inverso di $M$ rispetto alla circonferenza per $BCD$... :roll:
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Federico II
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Re: Dimostrazione geometria

Messaggio da Federico II »

Allora? XD
Il responsabile della sala seminari
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