Terzo dimostrativo

Selezioni provinciali delle Olimpiadi della Matematica 2014-2015
Toadino2
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Re: Terzo dimostrativo

Messaggio da Toadino2 »

Allora spero di esserci arrivato...
Non posto la soluzione perché sono terrorizzato :C
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me
DamianoY
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Re: Terzo dimostrativo

Messaggio da DamianoY »

Questo è come l'ho fatto io (in 10 minuti appena finita la gara... In gara purtroppo nemmeno l'ho letto):

Prima di tutto analizzo modulo $4$ e osservo che ho 3 casi:
$2n \equiv 1 \, mod (4)$ che è assurdo (ho posto entrambi i quadrati congrui a $1$ modulo $4$)

$2n \equiv 3 \, mod(4)$ che è assurdo (ho posto entrambi i quadrati congrui a $0$ modulo $4$)

$2n \equiv 0 \, mod(4)$ (ho posto i quadrati congrui a $1$ modulo $4$ e a $0$ modulo $4$) quindi $2|n$ (Volendo anche che $4|n$ )
A questo punto so che $d_1=1$ e $d_2=2$ e poi distinguo due sotto casi:
A) $d_3=4$ e quindi $d_4=5;7$ (Infatti $d_3$ e $d_4$ devono avere parità diversa e non può essere un numero maggiore di $d_2d_3$) a questo punto sostituendo si verifica che effettivamente $d_4=5$ porta alla soluzione $n=20$
B) $d_3=3$ $d_4=4$ verificando porta alla soluzione con $n=12$

Non esistono altre soluzioni e in entrambi i casi $k=6$


Per curiosità... Quanto mi avreste dato in gara per una dimostrazione così?
Ultima modifica di DamianoY il 19/02/2015, 23:01, modificato 1 volta in totale.
helios
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Re: Terzo dimostrativo

Messaggio da helios »

Ho realizzato adesso la soluzione con [tex]d_3<\sqrt n[/tex] e [tex]d_4>\sqrt n[/tex]... :roll:
mr96
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Re: Terzo dimostrativo

Messaggio da mr96 »

Per ogni coppia [tex](m,k-m+1)[/tex] vale [tex]d_m d_{k-m+1}=n[/tex], quindi [tex]d_3d_{k-2}+d_4d_{k-3}=2n<2n+1=d_3^2+d_4^2[/tex]. Visto che [tex]d_1<d_2<...<d_k[/tex] dev'essere [tex]k-3 \leq 4[/tex], altrimenti [tex]d_3d_{k-3}> d_3^2[/tex] e la stessa cosa per [tex]d_4[/tex], assurdo per la diseguaglianza di prima.

Quindi [tex]4 \leq k \leq 7[/tex]. Casi:

Se [tex]k=7[/tex] viene [tex]d_3d_5 + d_4^2 < d_3^2 + d_4^2[/tex], assurdo.
Se [tex]k=4[/tex] allora [tex]n^2 = d_4^2[/tex] quindi [tex]n^2<2n+1[/tex], assurdo se [tex]n>2[/tex] e [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] non vanno.
Se [tex]k=5[/tex] allora [tex]d_3d_3 = d_2d_4 = n[/tex] e dovrebbe valere [tex]d_4^2=n+1[/tex] ma [tex]d_4|n[/tex] e [tex](n,n+1)=1[/tex], quindi assurdo.

Rimane [tex]k=6[/tex], in questo caso o [tex]n[/tex] è la quinta potenza di un primo, o nella sua fattorizzazione ci sono il quadrato di un primo, un primo (alla prima :lol: ) e basta. Nel primo caso abbiamo che [tex]d_3=d_2^2[/tex] e [tex]d_4 =d_2^3[/tex], quindi [tex]d_2^4+d_2^6=2n+1=2d_2^4+1[/tex] da cui [tex]d_2^6 = d_2^4+1[/tex], assurdo. Nell'altro caso ci sono le soluzioni, ma non le ho scritte esplicitamente :evil: questo è ciò che ho fatto in gara...
Toadino2
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Re: Terzo dimostrativo

Messaggio da Toadino2 »

Oh, no...
Io ho scritto k=5, dimenticandomi che il numero stesso è un divisore!!!
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me
mr96
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Re: Terzo dimostrativo

Messaggio da mr96 »

Qualcuno mi stima un punteggio? L'ho scritta praticamente uguale...
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Federico II
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Re: Terzo dimostrativo

Messaggio da Federico II »

Con questa dimostrazione scritta un po' meglio quanti punti potrei prendere?
Testo nascosto:
$(a)$ L'unico valore possibile per $k$ è $k=6$.
$(b)$ Gli unici valori possibili per $n$ sono $n=12$ e $n=20$.
Dimostrazione cumulativa di $(a)$ e $(b)$:
Siano $p_1<p_2<p_3<...$ i primi che dividono $n$, in ordine crescente. Notiamo che ovviamente $d_1=1$ e $d_2=p_1$. Supponiamo ora che $d_3$ e $d_4$ siano entrambi potenze di primi. Abbiamo quindi $d_3=p_a^x$ e $d_4=p_b^y$. La relazione in ipotesi può quindi essere riscritta come $p_a^{2x}+p_b^{2y}=2n+1$. Dal momento che $2n+1$ è dispari, deve essere dispari anche la quantità a sinistra, e in particolare $p_a^{2x}$ e $p_b^{2y}$ (e di conseguenza $p_a$ e $p_b$) devono avere parità diversa. Quindi uno dei due è pari, ma l'unico primo pari è $2$, quindi uno tra $p_a$ e $p_b$ è uguale a $2$. Ma $2$ è anche il più piccolo numero primo, quindi deve essere $p_1=2$. Ora esaminiamo due casi: $d_3=p_1^2=4$ oppure $d_3=p_2$. Se $d_3=4$, visto che $d_4$ è dispari sarà uguale a $p_2$, e possiamo riscrivere la relazione come $16+p_2^2=2n+1$. Esaminiamo modulo $p_2$: visto che $p_2\mid n$ otteniamo $16\equiv1\pmod{p_2}$, da cui $p_2=3$ oppure $p_2=5$. Visto che $p_2=d_4>d_3=4$ deve essere $p_2=5$. La relazione diventa quindi $16+25=2n+1$, da cui $n=20$. Si può verificare che $n=20$ rispetta le ipotesi ed è quindi soluzione, e inoltre porta a $k=6$. Se $d_3=p_2$, dal momento che $p_2$ è dispari $d_4$ deve essere pari e quindi uguale a $4$. Ripetendo il procedimento del caso precedente troviamo sempre $p_2=3$ oppure $p_2=5$, ma in questo caso $p_2<4$, quindi $p_2=3$. Sostituendo nella relazione otteniamo $9+16=2n+1$, da cui $n=12$. Si può verificare che $n=12$ rispetta le ipotesi ed è quindi soluzione, e inoltre porta a $k=6$. Resta quindi soltanto il caso in cui $d_3$ e $d_4$ non sono entrambi potenze di primi. In questo caso l'unica possibilità è $d_3=p_2$ e $d_4=p_1 p_2$. Sostituendo nella relazione otteniamo $p_2^2+p_1^2 p_2^2=2n+1$, cioè $p_2^2(1+p_1^2)=2n+1$. Questa equazione è impossibile, perché il primo membro è divisibile per $p_2$, mentre il secondo non lo è (basti pensare che $p_2\mid n$). Quindi in questo caso non ci sono soluzioni, e la tesi è dimostrata: i valori che può assumere $n$ sono $n=12$ e $n=20$, e in ogni caso $k=6$.
Il responsabile della sala seminari
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Federico II
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Re: Terzo dimostrativo

Messaggio da Federico II »

Allora? XD
Il responsabile della sala seminari
Toadino2
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Re: Terzo dimostrativo

Messaggio da Toadino2 »

Io no so che dirti, ho paura di aver scritto io stesso un mare di cavolate XD e poi... sono solo al mio primo anno
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me
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