Terzo dimostrativo
Re: Terzo dimostrativo
Allora spero di esserci arrivato...
Non posto la soluzione perché sono terrorizzato :C
Non posto la soluzione perché sono terrorizzato :C
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me
Re: Terzo dimostrativo
Questo è come l'ho fatto io (in 10 minuti appena finita la gara... In gara purtroppo nemmeno l'ho letto):
Prima di tutto analizzo modulo $4$ e osservo che ho 3 casi:
$2n \equiv 1 \, mod (4)$ che è assurdo (ho posto entrambi i quadrati congrui a $1$ modulo $4$)
$2n \equiv 3 \, mod(4)$ che è assurdo (ho posto entrambi i quadrati congrui a $0$ modulo $4$)
$2n \equiv 0 \, mod(4)$ (ho posto i quadrati congrui a $1$ modulo $4$ e a $0$ modulo $4$) quindi $2|n$ (Volendo anche che $4|n$ )
A questo punto so che $d_1=1$ e $d_2=2$ e poi distinguo due sotto casi:
A) $d_3=4$ e quindi $d_4=5;7$ (Infatti $d_3$ e $d_4$ devono avere parità diversa e non può essere un numero maggiore di $d_2d_3$) a questo punto sostituendo si verifica che effettivamente $d_4=5$ porta alla soluzione $n=20$
B) $d_3=3$ $d_4=4$ verificando porta alla soluzione con $n=12$
Non esistono altre soluzioni e in entrambi i casi $k=6$
Per curiosità... Quanto mi avreste dato in gara per una dimostrazione così?
Prima di tutto analizzo modulo $4$ e osservo che ho 3 casi:
$2n \equiv 1 \, mod (4)$ che è assurdo (ho posto entrambi i quadrati congrui a $1$ modulo $4$)
$2n \equiv 3 \, mod(4)$ che è assurdo (ho posto entrambi i quadrati congrui a $0$ modulo $4$)
$2n \equiv 0 \, mod(4)$ (ho posto i quadrati congrui a $1$ modulo $4$ e a $0$ modulo $4$) quindi $2|n$ (Volendo anche che $4|n$ )
A questo punto so che $d_1=1$ e $d_2=2$ e poi distinguo due sotto casi:
A) $d_3=4$ e quindi $d_4=5;7$ (Infatti $d_3$ e $d_4$ devono avere parità diversa e non può essere un numero maggiore di $d_2d_3$) a questo punto sostituendo si verifica che effettivamente $d_4=5$ porta alla soluzione $n=20$
B) $d_3=3$ $d_4=4$ verificando porta alla soluzione con $n=12$
Non esistono altre soluzioni e in entrambi i casi $k=6$
Per curiosità... Quanto mi avreste dato in gara per una dimostrazione così?
Ultima modifica di DamianoY il 19/02/2015, 23:01, modificato 1 volta in totale.
Re: Terzo dimostrativo
Ho realizzato adesso la soluzione con [tex]d_3<\sqrt n[/tex] e [tex]d_4>\sqrt n[/tex]...
Re: Terzo dimostrativo
Per ogni coppia [tex](m,k-m+1)[/tex] vale [tex]d_m d_{k-m+1}=n[/tex], quindi [tex]d_3d_{k-2}+d_4d_{k-3}=2n<2n+1=d_3^2+d_4^2[/tex]. Visto che [tex]d_1<d_2<...<d_k[/tex] dev'essere [tex]k-3 \leq 4[/tex], altrimenti [tex]d_3d_{k-3}> d_3^2[/tex] e la stessa cosa per [tex]d_4[/tex], assurdo per la diseguaglianza di prima.
Quindi [tex]4 \leq k \leq 7[/tex]. Casi:
Se [tex]k=7[/tex] viene [tex]d_3d_5 + d_4^2 < d_3^2 + d_4^2[/tex], assurdo.
Se [tex]k=4[/tex] allora [tex]n^2 = d_4^2[/tex] quindi [tex]n^2<2n+1[/tex], assurdo se [tex]n>2[/tex] e [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] non vanno.
Se [tex]k=5[/tex] allora [tex]d_3d_3 = d_2d_4 = n[/tex] e dovrebbe valere [tex]d_4^2=n+1[/tex] ma [tex]d_4|n[/tex] e [tex](n,n+1)=1[/tex], quindi assurdo.
Rimane [tex]k=6[/tex], in questo caso o [tex]n[/tex] è la quinta potenza di un primo, o nella sua fattorizzazione ci sono il quadrato di un primo, un primo (alla prima ) e basta. Nel primo caso abbiamo che [tex]d_3=d_2^2[/tex] e [tex]d_4 =d_2^3[/tex], quindi [tex]d_2^4+d_2^6=2n+1=2d_2^4+1[/tex] da cui [tex]d_2^6 = d_2^4+1[/tex], assurdo. Nell'altro caso ci sono le soluzioni, ma non le ho scritte esplicitamente questo è ciò che ho fatto in gara...
Quindi [tex]4 \leq k \leq 7[/tex]. Casi:
Se [tex]k=7[/tex] viene [tex]d_3d_5 + d_4^2 < d_3^2 + d_4^2[/tex], assurdo.
Se [tex]k=4[/tex] allora [tex]n^2 = d_4^2[/tex] quindi [tex]n^2<2n+1[/tex], assurdo se [tex]n>2[/tex] e [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] non vanno.
Se [tex]k=5[/tex] allora [tex]d_3d_3 = d_2d_4 = n[/tex] e dovrebbe valere [tex]d_4^2=n+1[/tex] ma [tex]d_4|n[/tex] e [tex](n,n+1)=1[/tex], quindi assurdo.
Rimane [tex]k=6[/tex], in questo caso o [tex]n[/tex] è la quinta potenza di un primo, o nella sua fattorizzazione ci sono il quadrato di un primo, un primo (alla prima ) e basta. Nel primo caso abbiamo che [tex]d_3=d_2^2[/tex] e [tex]d_4 =d_2^3[/tex], quindi [tex]d_2^4+d_2^6=2n+1=2d_2^4+1[/tex] da cui [tex]d_2^6 = d_2^4+1[/tex], assurdo. Nell'altro caso ci sono le soluzioni, ma non le ho scritte esplicitamente questo è ciò che ho fatto in gara...
Re: Terzo dimostrativo
Oh, no...
Io ho scritto k=5, dimenticandomi che il numero stesso è un divisore!!!
Io ho scritto k=5, dimenticandomi che il numero stesso è un divisore!!!
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me
Re: Terzo dimostrativo
Qualcuno mi stima un punteggio? L'ho scritta praticamente uguale...
- Federico II
- Messaggi: 449
- Iscritto il: 14/05/2014, 14:53
Re: Terzo dimostrativo
Con questa dimostrazione scritta un po' meglio quanti punti potrei prendere?
Testo nascosto:
Il responsabile della sala seminari
- Federico II
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- Iscritto il: 14/05/2014, 14:53
Re: Terzo dimostrativo
Io no so che dirti, ho paura di aver scritto io stesso un mare di cavolate XD e poi... sono solo al mio primo anno
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me