Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

So che in qualche giorno usciranno le soluzioni, ma...
Secondo voi mi tolgono dei punti se ho messo come fatto noto che solo i quadrati perfetti hanno un numero dispari di divisori, e tutti gli altri ne hanno un numero pari?
A ripensarci mi sento scemo, nel dubbio potevo scriverlo

Boh secondo me bastava dire quanti sono i divisori di un numero data la scomposizione in fattori primi... Poi è superfluo.

Ho ripensato adesso ad una soluzione, che mi era venuta in mente anche in gara, trascurata poi per chissà qual dubbio... era pure rapida, ma ho dubbi proprio per questo!

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Ricordiamo di dover dimostrare che in una successione di interi dove ogni elemento è il numero di divisori positivi del precedente, è presente un quadrato perfetto.

Prima dimostriamo che ogni elemento è minore od uguale al precedente.

Ricordiamo che, per il metodo di conteggio dei divisori, se un numero ha un fattore $x^y$, il successivo ne ha uno $y+1$.
Quindi dimostriamo che per ogni $x, y$ vale la disequazione $x^y\ge y+1$. Ricordiamo che $x\ge 2, y>0$.
Osserviamo inoltre che per qualsiasi $y$ varrà $x^y>(x-1)^y$, quindi se dimostreremo che la disequazione vale per $x=2$ sarà dimostrata per ogni $x$.
Scriviamo $2^y\ge y+1$. Passiamo ad un'induzione.
Base induttiva: $y=1 \rightarrow 2\ge 2$, quindi è verificata.
Passo induttivo: $2(y+1)\ge y+2$. Vale a dire $2x2^y\ge y+1+1$. Questo vuol dire che l'equazione sarebbe scorretta solo se raddoppiando si aumentasse di meno di uno (sappiamo già che i due elementi centrali soddisfano), il che presupporrebbe che una potenza di due sia minore di uno, caso impossibile in esponenti interi.
Osserviamo che il primo elemento è uguale al secondo solo se $x=2, y=1$, altrimenti è maggiore.
Questo vuol dire che se tale fattore non occorre mai da solo in numero, ergo esiste un elemento uguale a 2, la serie è decrescente e dunque esisterà un elemento uguale ad 1, quadrato perfetto, e così saranno tutti i suoi successivi.
Se esiste un elemento uguale a due, invece, tutti i successivi saranno due. Tuttavia, se il numero precedente ha due divisori, ed è quindi primo. Se tale primo fosse uguale a due allora anche prima c'è un primo. Tuttavia sappiamo dal testo del problema che il secondo elemento non è due, dunque dev'essere un numero primo o composto. Od almeno deve essercene uno nella successione che non sia il primo elemento (altrimenti il secondo sarebbe uguale a due), ossia nella successione esiste un numero dispari che non è il primo (come sono tutti i primi differenti da due). Poiché solo i quadrati perfetti hanno un numero di divisori positivi dispari, l'elemento precedente tale primo dev'essere un quadrato perfetto.
Quindi in ogni caso ci sarà un quadrato perfetto. $c.v.d.$
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p^a maggiore o uguale a a+1 l'ho dato per scontato, l'uguaglianza si ha per p=2 e a=1, oppure a=0.

alfios97 ha scritto:Boh secondo me bastava dire quanti sono i divisori di un numero data la scomposizione in fattori primi... Poi è superfluo.

Comunque alfios ti faccio notare questa frase nelle linee guida di correzione:

"La sola formula per il numero di divisori di un intero positivo, in assenza di deduzioni, non dà diritto ad alcun punto"

Livex ha scritto:

alfios97 ha scritto:Boh secondo me bastava dire quanti sono i divisori di un numero data la scomposizione in fattori primi... Poi è superfluo.

Comunque alfios ti faccio notare questa frase nelle linee guida di correzione:

"La sola formula per il numero di divisori di un intero positivo, in assenza di deduzioni, non dà diritto ad alcun punto"

Già chiesto da qualche parte qui http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f= ... 9&start=30

Giulia 400 ha scritto:

Livex ha scritto:

alfios97 ha scritto:Boh secondo me bastava dire quanti sono i divisori di un numero data la scomposizione in fattori primi... Poi è superfluo.

Comunque alfios ti faccio notare questa frase nelle linee guida di correzione:

"La sola formula per il numero di divisori di un intero positivo, in assenza di deduzioni, non dà diritto ad alcun punto"

Già chiesto da qualche parte qui http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f= ... 9&start=30

Esatto, è parte integrante della dimostrazione.

Scusatemi per aver ritirato fuori questo topic , ma pensavo fosse inutile aprire un ulteriore topic se esiste gia questo :
Io per dimostrare questo problema ho scritto questo : So di aver un po’ “sviato” la generalizzazione della soluzione ufficiale , ma quanto avrei preso con questa dimostrazione ?

Temo non molto, perché 1 puó essere generato solo da se stesso e quindi tu consideri solo il caso in cui a1 è uguale a 1, e non gli altri infiniti casi.