Esercizio 18 finale gara a squadre femminile

[Pier]

Ciao a tutti.
Qualcuno di voi, per favore, sa come si risolveva l'esercizio 18 della finale della gara a squadre femminile?
Soprattutto, come si dimostra che i punti E, F, P sono allineati? Grazie
Ciao
Pier
P.s. il testo dell'esercizio diceva:Sia ABCD un quadrilatero e P un punto interno in modo che ADP e BCP siano triangoli equilateri. Si costruiscano esternamente al quadrilatero i triangoli equilateri ABE e DCF.Sapendo che AD=20, DC=21 e l'angolo FDP=90°, calcolare EF

[Lasker]

Quell'allineamento è banale da mostrare in complessi (origine in $P$), anzi ti viene la tesi più forte che i due punti $E,F$ sono simmetrici rispetto a $P$ (questo a prescindere dai dati sull'angolo $\angle FDP$ e i due segmenti che ti da ). Quando hai dimostrato quello il resto del problema è una formalità. Se riesci a concludere con questa idea, posta la tua soluzione, sennò vedo se posso aiutarti

[Pier]

Grazie mille per il prezioso consiglio. Tuttavia, non mi è ancora chiaro come procedere...se puoi, potresti, per favore, postare la tua soluzione?
Grazie ancora!
Pier

[Lasker]

Ok, allora metti WLOG $P$ nello $0$ e chiami $A=a$ e $B=b$ con $a,b$ parametri in $\mathbb{C}$, ora come puoi notare il disegno è determinato, infatti $C$ e $D$ sono $B$ e $A$ ruotati di $60$ gradi nel verso corretto... in particolare $C=be^{i\frac{\pi}{3}}$ e $D=ae^{-i\frac{\pi}{3}}$. ora per trovare $E$ ti basta pigliare il "vettore" $b-a$, ruotarlo di $60$ gradi e ritraslare in $a$: $E=(b-a)e^{-i\frac{\pi}{3}}+a$, mentre allo stesso modo $F=(be^{i\frac{\pi}{3}}-ae^{-i\frac{\pi}{3}})e^{i\frac{\pi}{3}}+ae^{-i\frac{\pi}{3}}=be^{i\frac{2\pi}{3}}-a+ae^{-i\frac{\pi}{3}}$. Ora se sommi questi due numeri complessi, si semplificano cose e ottieni $b(e^{i\frac{2\pi}{3}}+e^{-i\frac{\pi}{3}})$, ma se ti immagini $e^{i\frac{2\pi}{3}}+e^{-i\frac{\pi}{3}}$ nel piano complesso è evidente che fa $0$ perché i due complessi hanno entrambi modulo $1$ e l'angolo fra essi è $\pi$. Ma allora $e+f=0$ che è equivalente a dire che $E$ e $F$ sono simmetrici rispetto a $0$ (che abbiamo scelto essere $P$). Ora ti basta notare che $FP=29$ per pitagora e quindi $EF=2\cdot 29=58$.

[Pier]

Wow! Bella dimostrazione!!!
Grazie mille!..anche per aver perso del tempo per rispondermi...
Secondo te, si è obbligati a passare attraverso i complessi, oppure si può dimostrare anche usando geometria sintetica/trigonometria?
Comunque grazie ancora!!!!
Pier

[Lasker]

No non si dovrebbe essere obbligati ad usarli, ma è sempre la via più naturale da provare quando nel problema ci sono millemila n-agoni regolari

[afullo]

E poi i complessi _sono_ trigonometria, per la formula di Eulero...