Semifinali Bocconi 2019 es 18

[ronny]

Ciao, sto cercando di capire come risolvere l'es 18 della Semifinale della Bocconi.

20/19 = (a^3+b^3)/(a^3+c^3) a,b,c < 50 trovare 3 terne di interi positivi che soddisfano

Ho trovato una soluzione commentata che dice:

riscriviamo così
20/19 = (a+b)(a^2-ab+b^2) / (a+c)(a^2-ac+c^2)
i due falsi quadrati sono primi e il loro MCD è 1

(cosa intende per primi? che i numeri interi che si otterrano sono primi o che visti come polinomi di "a" sono primi tra loro cioè con MCD = 1? )

prosegue:
possiamo anche riscrivere:
20 * (a+c)(a^2-ac+c^2) = 19 * (a+b)(a^2-ab+b^2)
il prodotto di sinistra contiene il fattore (a^2-ac+c^2). per verificare l'uguaglianza quel fattore deve essere contenuto nel prodotto di destra.
Questo si verifica solo se (a^2-ac+c^2) = (a^2-ab+b^2) cioè i due falsi quadrati sono uguali

e poi da qui il tutto si semplifica.

Non ho capito l'ultimo passaggio. Perchè si verifica che il fattore è contenuto anche a destra solo nel caso (a^2-ac+c^2) = (a^2-ab+b^2) ? si parla quindi di polinomi?

Grazie per l'aiuto.

Ronny

[afullo]

Il modo migliore per risolverlo era trarre vantaggio dalle seguenti osservazioni:

• se la terna [tex](a,b,c)[/tex] era una soluzione, allora lo era anche la terna [tex](ka,kb,kc)[/tex], per ogni [tex]k \geq 2[/tex] intero;
• le soluzioni erano esattamente tre, dunque in ogni terna almeno uno tra [tex]a,b,c[/tex] doveva essere maggiore di 12, altrimenti sarebbero state con tutti gli elementi minori di 50 anche quella doppia, quella tripla e quella quadrupla, arrivando già a quattro soluzioni;
• provando ad uguagliare i due "falsi quadrati", si otteneva [tex]a=b+c[/tex], ovvero [tex]\dfrac{20}{19} = \dfrac{2b+c}{b+2c}[/tex]; supponendo che il numeratore di quest'ultima frazione fosse proprio 20, e quindi il denominatore 19, si otteneva [tex]b=7, c=6[/tex], da cui [tex]a=13[/tex]. Una terna era quindi [tex](13,7,6)[/tex], le altre due [tex](26,14,12)[/tex] e [tex](39,21,18)[/tex], raddoppiando e triplicando.

Certo, è un approccio euristico, ma in Bocconi capita spesso che sia vantaggioso farne.

[ronny]

Si, questo era un approccio rapido alla soluzione.

Però, tanto per approfondire e capire, nella soluzione sembra che per forza i due falsi quadrati debbano essere dei numeri primi e debbano essere uguali tra loro.

Da cosa si deduce questa cosa?

Ronny

[afullo]

Sinceramente non saprei giustificarla neanch'io...