Finale Bocconi 2019 - es 18

[ronny]

Ciao,
finale Bocconi 2019 esercizio 18, dopo un po' di ragionamenti arrivo ad un punto dove procedere a tentativi:

chiamo "a" la lunghezza di AB e "b" la lunghezza di DH (i lati dei due quadrati).
Quindi:

[tex]a^2-ab+b^2=2019[/tex]

[tex]a^2+2ab+b^2-ab-2ab=2019[/tex]

[tex](a+b)^2-3ab=2019=3*673[/tex]

[tex](a+b)^2=3*673+3ab[/tex] oppure [tex](a+b)^2=2019+3ab[/tex]

Quindi 3 divide (a+b).
Provo a limitare i tentativi: [tex](a+b)^2 > 2019[/tex] quindi [tex]a+b >= 45[/tex] e divisibile per 3
Inoltre ponendo [tex]a+b=3k[/tex] si ottiene

[tex]2019+3ab=(3k)^2[/tex]
[tex]2019+3(3k-b)b-9k^2=0[/tex]
[tex]-3b^2+9kb+2019-9k^2=0[/tex]
[tex]-b^2+3kb+673-3k^2=0[/tex]
questa equazione in k deve avere discriminante maggiore di 0
[tex]9k^2+4(673-3k^2)>0[/tex]
[tex]9k^2+673*4-12k^2>0[/tex]
[tex]-3k^2+673*4>0[/tex]
[tex]k^2<\frac{673*4}{3}[/tex]
[tex]k<\sqrt{\frac{673*4}{3}}\cong30[/tex]

quindi [tex]45 <= a+b <= 90[/tex]

a questo punto mi ritrovo a tentare tutti i multipli di 3 da 45 a 90 (tra cui si trovano le due soluzioni).

Avete qualche idea per arrivare alla soluzione?

[afullo]

Io l'ho fatto per tentativi, ma la soluzione elegante che hanno presentato prima di premiare faceva uso del teorema di Carnot: se [tex]a[/tex] è il lato del quadrato grande, e [tex]b[/tex] quello del quadrato piccolo, allora [tex]a^2+b^2-ab = a^2+b^2-2ab \cos(60°) = 2019[/tex].

Quindi è come considerare un triangolo in cui due lati sono [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], l'angolo tra essi compreso è di [tex]60°[/tex], e il terzo lato è [tex]\sqrt{2019}[/tex]; con un po' di considerazioni geometriche, si giunge a [tex]\dfrac{\sqrt{3}}{2} a \leq \sqrt{2019} \leq a[/tex], da cui [tex]45 \leq a \leq 51[/tex]. Questo semplifica di molto la casistica...

[ronny]

Io l'ho fatto per tentativi, ma la soluzione elegante che hanno presentato prima di premiare faceva uso del teorema di Carnot: se a è il lato del quadrato grande, e b quello del quadrato piccolo, allora [tex]a^2+b^2−ab=a^2+b^2−2abcos(60°)=2019[/tex].

Bell'idea. A me aveva ingolosito il fatto che nella mia elaborazione spuntasse un fattore 3 sia in [tex]3ab[/tex] che in [tex]2019 = 3 * 673[/tex]. Speravo si potesse sfruttare.

[afullo]

Per ridurre il numero di tentativi direi che se ne possa fare uso, ma mi sembra che comunque sia in quel modo richiesto almeno in parte un approccio brute force...

Con la limitazione su [tex]a[/tex], si può sfruttare il fatto che, considerando [tex]b[/tex] come incognita e [tex]a[/tex] come variabile, risulta [tex]\Delta = 8076-3a^2[/tex], da cui scartare [tex]a=46,49,51[/tex] subito perché la cifra delle unità di [tex]\Delta[/tex] non verrebbe compatibile con quella di un quadrato perfetto, e poi fare i calcoli negli altri casi ottenendo che solo per [tex]a=50[/tex] funziona.