Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

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ronny
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Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

Messaggio da ronny »

Qualcuno mi può dare un consiglio per risolvere l'esercizio 16 delle semifinali dei giochi della Bocconi 2022?
Come si può dimostrare che un certo perimetro è il massimo?
afullo
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Re: Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

Messaggio da afullo »

A sentire non l'ha risolto giusto quasi nessuno. A Borgosesia abbiamo risposto quasi tutti 30, in altre sedi forti come Parma e Vicenza sembra lo abbiano sbagliato tutti. So di una risposta corretta, ma "favorita" dal fatto che incidentalmente avesse visto il problema tempo indietro su Brilliant, e se lo ricordasse quel poco che bastava per ricostruirlo...
ronny
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Re: Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

Messaggio da ronny »

Cos'è Brilliant?
afullo
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Re: Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

Messaggio da afullo »

https://brilliant.org/

Ho poi visto su FB una soluzione che, ponendo x=(a+b-c) /2, e y,z analogamente ciclando, trasforma l'equazione che si ottiene uguagliando a+b+c alla formula di Erone in xyz=4(x+y+z), le cui soluzioni intere sono più facilmente ricavabili.
ronny
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Re: Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

Messaggio da ronny »

Ero arrivato a una cosa del genere anche io.
Ma non riesco a trovare i numeri.

Ho persino visto su un sito che la soluzione dovrebbe essere
Testo nascosto:
60
.
Ma anche sapendola non trovo i 3 lati :(
afullo
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Re: Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

Messaggio da afullo »

Cito dal post:
Testo nascosto:
Per semplificare l'equazione diofantea da risolvere si può porre (a+b-c)/2=x, (a-b+c)/2=y, (-a+b+c)/2=z (per inciso sono i segmenti di tangente dai vertici del triangolo alla circonferenza inscritta).
In questo modo l'uguaglianza Erone=perimetro diventa xyz=4(x+y+z), che per esempio ricavando un'incognita e iniziando a dare valori crescenti a una seconda, dovrebbe convincere abbastanza velocemente che le uniche terne per x, y, z sono (1, 5, 24), (1, 6, 14), (1, 8, 9), (2, 3, 10) e (2, 4, 6).
ronny
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Re: Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

Messaggio da ronny »

Non me ne convinco così facilmente, ma facendo un po' di conti mi sembra così.

Chissà se il limite massimo all'area c'è anche se le lunghezze dei lati fossero numeri reali...
afullo
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Re: Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

Messaggio da afullo »

Dato un triangolo di lati a,b,c, se lo dilatiamo di un fattore t il perimetro si moltiplica per t, mentre l'area per t².

Se ne deduce che, per ogni triangolo (possiamo anche affermare a meno di similitudini), esiste uno e un solo valore di t tale per cui una dilatazione avente esso come fattore porta ad avere il perimetro e l'area numericamente uguali, e questo valore di t è uguale al rapporto (sempre numerico) tra il perimetro e l'area del triangolo: per esempio 3,4,5 ha perimetro 12 ed area 6, dilatandolo di un fattore 12/6=2 si ottiene 6,8,10 che ha perimetro 24 ed area 24.

Questo dovrebbe caratterizzare l'insieme di tutti i triangoli aventi tale proprietà, bisognerebbe provare a studiarne alcune caratteristiche...

EDIT: direi che il limite non ci sia. Si provi con i triangoli isosceli di base b e altezza 2/b: al crescere di b da un certo valore in poi il loro perimetro aumenta indefinitamente, mentre la loro area resta sempre 1. In questo modo t è il perimetro, mentre perimetro ed area del triangolo dilatato sono uguali e pari al quadrato del perimetro del triangolo iniziale, che cresce anch'esso illimitatamente...
ronny
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Re: Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

Messaggio da ronny »

Intuitivamente mi immaginavo infatti dei triangoli sempre più stretti (nel tuo caso l'altezza 2/b che diventa piccolissima).
Nel caso degli interi invece da dove salta fuori il fatto che ci sia un massimo?
afullo
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Re: Semifinali Bocconi 2022: esercizio 16

Messaggio da afullo »

Dicono che:
Testo nascosto:
imponendo senza perdita di generalità x ≤ y ≤ z, e ricavando x, si vede facilmente che y è al massimo 8, e poi si va per casi.
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