Marinada 2022
Inviato: 02/10/2022, 19:30
Ho provato qualche problema della Marinada 2022
https://www.skoljka.org/marinada22/
I primi di algebra e geometria erano abbastranza facili. Anche i primi di combinatoria. In teoria dei numeri ho trovato difficoltà, forse sono scarso io in questo argomento. Vi propongo 2 problemi dove mi sono arenato e poi uno preso dall'ultima catena (non so se questo significhe che era la catena con i problemi più difficili):
1) Find the smallest natural number $k$ so that between any $k$ natural numbers we can always choose a couple of them so that their sum is divisible by $100$.
Qualcosa non mi torna. Mi sembra che si possano trovarte infiniti numeri congrui ad 1 modulo 100 e che quindi presi a coppie non diano mai un numero multiplo di 100
2) Find the largest natural number $k$ such that there are natural numbers $a_1 < a_2 < ... < a_k \leq 100000$ such that none of them divides the product of the others
Saranno tutti i primi tra 2 e 100000 ??? Ma come si fa a contarli??
3) How many numbers $x \in \{1, 2, \ldots, 7^{100} \}$ satisfy $7^{100} \mid x^3-6?$
Quindi trovare tutti i numeri che elevati al cubo diano resto 6 se divisi per $7^{100} $. Non mi sono venute idee...
https://www.skoljka.org/marinada22/
I primi di algebra e geometria erano abbastranza facili. Anche i primi di combinatoria. In teoria dei numeri ho trovato difficoltà, forse sono scarso io in questo argomento. Vi propongo 2 problemi dove mi sono arenato e poi uno preso dall'ultima catena (non so se questo significhe che era la catena con i problemi più difficili):
1) Find the smallest natural number $k$ so that between any $k$ natural numbers we can always choose a couple of them so that their sum is divisible by $100$.
Qualcosa non mi torna. Mi sembra che si possano trovarte infiniti numeri congrui ad 1 modulo 100 e che quindi presi a coppie non diano mai un numero multiplo di 100
2) Find the largest natural number $k$ such that there are natural numbers $a_1 < a_2 < ... < a_k \leq 100000$ such that none of them divides the product of the others
Saranno tutti i primi tra 2 e 100000 ??? Ma come si fa a contarli??
3) How many numbers $x \in \{1, 2, \ldots, 7^{100} \}$ satisfy $7^{100} \mid x^3-6?$
Quindi trovare tutti i numeri che elevati al cubo diano resto 6 se divisi per $7^{100} $. Non mi sono venute idee...